CHAPITRE V. — GENERATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES

lions

f{Xu OCi, X-i\ Xi, X2; [Xi, IJ.2) = 0, Cp(Xi, X2; P-l, P-2) = 0,

où les notations sont claires par elles-mêmes. Il faudra évidemment, pour obtenir Penveloppe g^ éliminer les (X) et les (|j.) enlrey'=:=o, o =:o, et l'une des équations

^l EL EL AL

dX^ 0)^2 ^1^1 àix^

dcp d(D do do

âli 0X2 ^[M ^(^-2

Si /est des degrés />, q, r par rapport aux (œ), aux (X) et aux(tj.), et si cp est des degrés ^^et /'^, le degré de l'enveloppe g sera

Les singularités de g se détermineront comme plus haut : la solution générale sera indiquée plus loin. On peut continuer de la même façon.

198. On obtient des généralisations de la notion d'enveloppe par les considérations suivantes.

Envisageons d'abord les deux équations

fii^u ^2, ^'^3; Xi, X2, 1^)= o,

et écrivons, en généralisant ce qui a été dit au n° 196, que ces deux séries en (X) sont tangentes. On définit ainsi une série g qui est l'enveloppe du système donné.

On peut dire que ^' := o est le lieu des (x) tels que si l'on établit une relation quelconque ^Q^) entre les (a), la série définie par /^ = o, /2== o et cp = o et contenant (x) est toujours tangente à l'enveloppe g en cet élément, ou bien y a un élément multiple. Ceci résulte de l'équation de l'élément tangent donné au n° 189.

En posant

l'équation de l'élément tangent à g est obtenue en égalant à zéro An. - I. i4

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un déterminant convenable du troisième ordre tiré de la matrice

ÔXy

dxi do 2

ÔXf

âxi

^+X3^ ^^ ^ -^-^ 0X2 ^~ • <^^3 ^^^1 ^^^2 àX-^

âXl

àos

11 est facile de voir que si les séries y^ et/o en (}v) sont osculatrices en un élément commun, les déterminants du second ordre tirés de la matrice

^fi ^.A ^9i ^92 ^^.3

d\i âXi dli dli d\i

dfx 4/2 ^?i <^?2 <^93

dX^ àXi dl^ t)X2 àl^

ôfi df^ d^i 0^2 ^^3

dX^ ôX^ dX^ ôX^ âXs

sont tous nuls pour cet élément; et réciproquement.

Donc ^' aura un élément cuspidal dans ce cas; de plus, g a évidemment un élément double ordinaire dès que les séries /j = o et/'2=o, en (X), sont doublement tangentes, c'est-à-dire quand les équations /^ = o, /2= o et cp^ = o ont deux solutions communes distinctes en Çk).

Si // est des degrés pi et cji par rapport aux [x) et aux ()x), o-est du degré /»i ^2(2^1 + ^2— 3) +i?2?i (2 ^2 + ^i — 3). Déterminons d'abord ses éléments cuspidaux. On considérera les équations suivantes, c[ui n'ont pas une infinité de solutions communes,

ces équations ont

CPi =z O,

0X2 dXs

àf\ ^^ àX^ 0X2

-l-/?|^i(35'i-+- 3^2— 6) solutions; mais il faut suppriuier, comme ne fournissant pas des

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