CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES
éléments cuspidaux, les soUitions des équations
en nombre
les solutions des équations
0X2 àX-s àKs 0X2
t^\ l-n f-c. f-n ^/l ^?3 àf, d^s (^) Al— O, /i— O, /2— O,
en nombre
les solutions des équations
(y) ^3=0, /l=0, /2=0, Cpi=rO,
en nombre
de plus, on a supprimé comme solutions des espèces (a) et ((3) les solutions des équations
Ce) h = 0, f2=0, ^=.0, ^^--=.0,
en nombre
et, par suite, il faudra les considérer à nouveau; enfin on a supprimé comme solutions des espèces (p) et (y) les solutions des équations
(s) Xi^O, )^3=0, fl=0, /2=0,
en nombre p\p^^ et il faudra, par suite, les reprendre.
Finalement, en appelant N, A, B, C, D, E les six nombres que nous venons de calculer, le nombre cherché des éléments station-
naires de g est
i\ __ a A — PB — yG -f- SD -f- sE,
a, p, y, 0, £ désignant certains entiers positifs.
La forme symétrique du résultat par rapport aux/?/ et qi^ la connaissance de certains cas particuliers et, au surplus, une étude directe donnent sans peine
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212 LIVRE II. — LA GEOxMETRIE TERNAIRE.
et par suite, le nombre cherché est
3pf ^2(^1+^2— 3 )-f-i?]p2(3^f -4-12^1^2-^-3^1 — 18^1 — 18^2+ i^) -i-3/)| ^1(^1-1-^2— 3).
Pour déterminer les éléments doubles ordinaires de la série g^ on considérera les équations
/l=0, /2==0, Cpi^.0,
et l'on écrira qu'elles ont deux solutions communes en (X), ce que nous savons faire ; le nombre des solutions correspondantes est
-\-PiP2['>-'q\q2-^ ^q\ql-^ "^qiql — ^q\qi--^q\q\
mais il faut supprimer d'abord les solutions qui correspondent au cas où les équations en (X)
d'une part et
d'autre part, ont en même temps une solution commune; le résultant des premières est de degré
par rapport aux (^), et contient eu facteur le résultant des secondes de degré />^ g2-H/>2yi 5 donc en tout nous avons ainsi un nombre de solutions égal à
pf 5^1(2 ^1-4-^2- 3)^-/»i7;2^i^2(3^iH- 'iqi--^)-\-plq\{q\-+- iq^ — o)-
Il faut supprimer encore les solutions qui correspondent au cas où les équations en (X)
(?>) /l=05 A=0, Xi=:0,
ont deux solutions communes, et qui sont en nombre
De plus, il faut reprendre, comme ayant été supprimées en qua-
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