CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES

llté de solutions (a) et de solutions (p), les solutions qui corresjDondent au cas où les séries en ()^), /^ = o et /o^ o, ayant un élément commun pour lequel y^ == o, sont véritablement tangentes en cet élément ; ces solutions sont en nombre

enfin, il faut supprimer les solutions qui correspondent aux éléments cuspidaux, et déterminées précédemment. On trouve finalement pour le nombre cherché

-\- PiP^l'i^ql qi-+- ^q\q\-^ 'i-qiql — ^q\q^.— 9q\q\

— ^q\ — ^^qiq^i — 6^|-4-3o^i-+-3o^2 — '^4]

199. On peut aussi envisager la série cp obtenue en éliminant les (^) entre les conditions qui expriment queyi^o et/*2=:o sont tangentes; c'est le lieu des éléments où se touchent les séries /i = o et/*2= o en ().). Elle est de degré

comme on le voit en éliminant les (^) entre /"i = o, y2 = o? ^\ = o? et supprimant le facteur }\^i''^-.

Cette série cp n'a pas d'éléments cuspidaux en général; elle a des éléments doubles dont le nombre est facile à déterminer en remarquant que g et cp sont de même genre. On peut aussi les déterminer directement de la façon suivante : on éliminera les (^) entre les équations

/i=o, cp2=o, cp3=:o;

le résultant est de la forme ç^)(, A désignant le résultant de

et y^ celui des équations

On évaluera le nombre de fois que les premières équations ont

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deux solutions commuDes en [x), et de ce nombre, divisé par 2, on retranchera les nombres d'éléments doubles pour ^ et y^^ et les nombres d'éléments communs aux séries cp, (j;, y prises deux à deux; enfin on ajoutera, comme ayant été supprimés à tort, les nombres d'éléments communs à ces mêmes séries deux à deux qui correspondent à un même système de valeurs des [x).

200. On a des résultats analogues en partant des deux équations

des degrés p^ et /?2j ^i et cjo-) i\ et i\ par rapport aux (^), aux ().) et aux ([j.), et écrivant que ces deux équations en Çk) et {\i.) ont une solution commune double.

L'enveloppe ainsi définie est du degré

P\[q\ n -^ qi ''2 -i- 2 9^2 ( ''1 — i) H- '^ '^2 iqi — ^)] + P2[^i/^i4- ^2''2-H 'iq\{j't— 0-^- 2^1(^2 — i)]-

Nous n'insisterons pas davantage sur ces généralisations.

201. Considérons maintenant un ensemble doublement infini de séries/, définies par une équation telle que

/(^l, X^^, ^3; Xi, )v2, X3)==0,

des degrés/? et q par rapport aux [x) et aux (X).

Si l'on écrit que la série / en (X) a un élément double, c'està-dire si l'on égale à zéro le discriminant de/* par rapport aiix(X), on définit une série g^ de degré ?>p{q — i)", qui peut encore être regardée comme une enveloppe des séries /, et qui est le lieu des {x) tels que / ait un élément double en (à).

Les équations ■—- = o définissent les (A) en fonction des (x)

coordonnées d'un élément de g] on a ainsi une relation ç(X) = 0 correspondante, da degré ^p'^{q — i) : c'est le lieu des éléments doubles définis plus haut. Les séries /*o définies par /= o et cp = 0 ont pour envelojDpe proprement dite g] de plus, si Fon établit entre les (X) une relation quelconque ^Ç\) = o, on définit un ensemble simplement infini de séries/, et leur enveloppe propre-

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