CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES
Si q =/), ce qui arrive dans le cas général de/> = 4? soit F un invariant d'ordre p. (ceci suppose P — p -\-\^o)\ soient F4, Fsj . . . , les P — p invariants absolus; il est clair que tout invariant d'ordre [jl' sera de la forme
F(^'cp(Fi, F2, ...),
cp étant une fonction arbitraire.
On peut dire qu'il y a P — p -\- i invariants distincts. Si F^ , F2, F3, ... désignent P — /> + i tels invariants des ordres [X|, Ua? [JI3, . . . , [Ji^ n'étant pas nul, par exemple, tout invariant d'ordre a quelconque est de la forme
(p étant une fonction arbitraire.
25. Puisque les invariants absolus peuvent être choisis rationnels, il résulte de ce qui a été dit au n° 23 que l'on peut toujours, quand il y a des invariants absolus, former pour le système S un système fondamental d'invariants entiers par rapport aux éléments de ce système : ces invariants sont d'ordre entier.
Par système fondamental d'invariants, nous entendons un ensemble d'invariants distincts à l'aide desquels puissent s'exprimer tous les autres, comme nous venons de le voir.
Si le système S n'a que des invariants absolus, ceux-ci peuvent être pris entiers. Si le système S n'a pas d'invariants absolus et a cependant des invariants, ceux-ci sont les puissances de l'un d'entre eux, que l'on peut encore supposer entier, comme nous le verrons plus loin.
Ce que nous venons de dire nous permet de ne considérer que des invariants entiers, quand il s'agit d'invariants non absolus; c'est ce que nous ferons toujours.
26. Un invariant entier peut toujours être supposé homogène séparément par rapport aux diverses séries de variables (^), (/), .... (^), (-ri), ... et aux diverses séries de coefficients (a), (ft), . . . , des formes/, g, . . . , qui constituent le système S.
Soit en effet F un invariant qui n'est pas dans ces conditions :
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24 LIVRE ï. — LA GEOMETRIE BINAIRE.
il est la somme d'un certain nombre de fonctions entières qui possèdent les propriétés d'homogénéité indiquées plus haut; siF^ , F2, . . ., sont ces fonctions, la transformation du système S conduit à l'identité
^^i{^ii^2'i ••• ^11 S25 ••• ^pi,p^;"-'^i,'^i;-") ••' ^puPki-'^'u'^i;--'! •••)
Remplaçons x^ et X2 par Hœ^ et X^o? • • ^ t\ et ^2 par ^^\ et S^27 • • • ? / par A/, ^ par B^, . . . , les quantités X, . . . , S, . . . , A, B, . . . , étant des constantes arbitraires ; la fonction F exprimée à l'aide de ces nouvelles variables et de ces nouveaux coefficients est encore un invariant du nouveau système ainsi formé, et comme x\ et ^^ s^^t remplacées par X^'^ et ILx^, . . . , k\ et ^2 par E^\ et S^^? - • 5/ par A/, g^ par A g', . . . , l'identité précédente devient, en supposant F, homogène et des degrés /f^, ..., x^, ..., 72^, z?',, ..., respectivement par rapport aux séries (x), . . ., (i), ..., (a), (6), . . .,
SX^i . . . S^i . . . A^^i B«5 . . . Fi (^1 , x'^ ;
Ceci ayant lieu quelles que soient les arbitraires X, ..., S, . . . , A, B, . . ., on en déduit que chacune des fonctions F^, F2, . . . est elle-même un invariant d'ordre p., puisque, pour deux de ces fonctions, les systèmes de nombres /{■^, . . ., x,, . . ., /i], n\^ . . ., sont par hypothèse différents.
En conséquence, tout invariant non absolu F sera toujours supposé entier, homogène et des degrés /f, /, . . . , x, }^, . . . , n, 7z^, . . ., par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients {x), (y), , . , (ç), (rj), . . ., (a), (6), . . ., qui constitueut le système S. Si les coefficients (a), (b)y ..., sont ceux des formes /= a^/^j,^...^^-^?..., g = ^xf'j'7'...^^V'-.? ^^ ^^ 1^' ^^^ l'ordre de F, on a évidemment, en cherchant le degré de F par rapport aux coefficients (1), la relation
211 = {p -{- q ^ . . . — 71 — p .. .)/i +(/>'+ ^'h-. ..— tu' — p' . . .)n'-\-, . . — A- — Z — ... H- X -I- X -4-
27. Dans le groupe des substitutions a-, on peut distinguer celles dont le déterminant est i ; ces substitutions forment elles-
ri,r.; ■
• • • ^pi,pi->-''>
• • • ^p'i,pi',."-)
• • ^Vu/?2;-.5
' ' ' bpi,P'^;..-i
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