CHAPITRE YI. — LA FORME BILINEAIRE ET L HOMOGRArHiE

l'on pose

gil.y)^-

an «12 <^13 '^1

Ji 72 73 o

g =^ O est l'équation de (v]) correspondant à (^), on de {x) correspondant à {y)^ de sorte que

'ni

aiiÇl-1- «21^2 -t- «31^ «12^1^- «22?2-i- «32^3 ^13 ^1 + «23 ?2 "i" «33 ^3 ^1 3^2 __ ^3

aiiriH-ai2j2+ «13^3 «2171+ ^2272-+- «2373 . «3 i7i^- «3272+^3373 On a aussi

df{X, Tj):

''^il ■■'^i2 '03 O

Le système/, (^), (i), (7), (t)) a comme invariants multiples les

cinq quantités/, g^ d, (ç j x)^ ('/] |jk).

205. Considérons le cas où l'on a 6/=o, sans que tons les mineurs a/y de d soient tous nuls. Par eiitension, on dit alors que /*= o définit une homographie simplement singulière.

La forme g est ici le produit de deux facteurs, soit {b | ?)(y ] r), à cause des propriétés des a/y. Par suite, on définit de cette façon deux éléments particuliers des espaces X et Y, soit (6) et (y) : à [x) quelconque correspond [y) appartenant à (y), et à (^) correspond [y) quelconque; à {y) quelconque correspond (6), et à (jk) appartenant à (y) correspond une infinité simple d'éléments i^x) alignés avec {b)] à (^) quelconque correspond (y), et à (^) contenant (/^) correspond une infinité simple d'éléments (tj) alignés avec (y); à (t,) quelconque correspond (ç) contenant (Z?), et à (y) correspond (^) quelconque.

Si les coefficients a/y sont tous nuls, de sorte que la forme g est nulle identiquement, l'homographie est doublement singulière, /"est le produit de deux facteurs ( [3|cr)(Z?|7i), et les particularités qui se présentent s'énoncent immédiatement.

Dans tous les cas, les espaces X et Y étant distincts, on peut

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réduire y* à la forme canonique

cillai V]i -\- an ^2 *^2 -+- <^33 ^3 '^J3j

de sorte que

d= «11^22^33, .«r = «22'^33?lJKl-|- ^33«11$272+ ^ll«22i3JK3.