II. — L'homographie de deux espaces coïncidants

206. Supposons les espaces X et Y identiques. On peut imaginer alors que les (j/) sont les mêmes éléments que les (ce) ou bien que les (^) : nous envisagerons cette dernière hypothèse plus tard, et ici nous supposerons que les (y) et les (*/]) sont les mêmes éléments que les (x) et les (^) respectivement.

Si nous étudions le système formé par/, les (x) et les (^) et si l'on remplace les (y) et les (yi) par les (.r) et les (^), les résultats précédents subsistent d'abord entièrement, et fournissent les invariants/, ^, h z= (^\x) et d, tous faciles à interpréter.

A ces invariants nous adjoindrons d'abord les formes k et y qui sont les jacobiens de /, g^ h considérées comme fonctions soit des (^), soit des (x); k et y^ sont des formes cubiques

aii^l-h <^21 ^2 + <^31 ^3 k= a^j^j-j- ^12^2 + ^13-^3

anli-^ai au ^1-4- «2

Cherchons maintenant les éléments doubles de l'homographie, c'est-à-dire ceux qui se correspondent à eux-mêmes dans les séries X et Y. Pour les déterminer, on a évidemment les équations

{an — p)^i -}- a2i^^2-+-

p étant une inconnue auxiliaire déterminée par l'équation

OU bi

tp-^-

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