CHAPITRE VI. — LA FORME BILINEAIRE ET L HOMOGRAPHIE
OÙ l'on a fait
t = ail -4- «22+ «33, y == «11-1- «22+ «33-
Les coefficients i et y sont évidemment comme d des invariants proprement dits, d'ordre zéro, car les racines de l'équation en p sont manifestement invariantes, ç(p) étant l'invariant d relatif
On arriverait aux mêmes résultats par les équations
(an — (t)^i ^- ai2a^2 -+- «13^3 = o, y
qui conduisent à
cy3 — y j2 | jY/œ — d^ — Oj
de sorte que po- z= d.
De même encore, les éléments doubles de seconde espèce sont déterminés par les équations
(ail— p)?l + <^12?2-4- «13^3=0, * J
OU bien
(an— cr)^i-i- «21^2+ «31 ts == o,
Nous avons ainsi trouvé huit invariants/, g^ A, A, y, /, y, d qui forment un système complet : sept d'entre eux seulement sont indépendants, et la relation cjui les lie sera indiquée plus loin.
207. Nous allons retrouver les invariants i et j d'une autre façon qui nous donnera en même temps de nouvelles propositions.
Considérons / comme fonction des (^) et g comme fonction des {x)j ou inversement; l'invariant K (/, g) défini au n" loO est alors dh ; et en effet la forme g correspond à l'homographie inverse de celle qui est définie par/".
Considérons maintenant y comme fonction des (x) et des (?) successivement; il en résulte un invariant K que l'on vérifie sans peine être égal à
c'est aussi
(«11^1-+- «21^2+ «31^3)(<^llilH- <^12?2-i- ^IS^s)-!-. • -,
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et, par suite, on voit que if — jh -^ g z=zo est rëquation de (^) de Y, correspondant à {y) de X, i^y) correspondant lui-même dans Y à i^x) de X; c'est aussi l'équation de (Ç) appartenant à X, correspondant à (ri) de Y, (ti) correspondant lui-même dans X à(^)deY.
Dans le premier cas, les équations de (^) et (j/) étant A = o et y^ro, on voit que les éléments (^), (jk), (^) appartiennent à un même faisceau, si l'on a /c = o, et seulement alors ; dans le second cas, on voit de même que (i), (t)), (^) appartiennent à un même faisceau si l'on a y=: o, et seulement alors.
En appliquant le même procédé à g^ on trouve de même que la
quantité
(aii^i-1-ai2^2+ai3^3)(aii^i-i- ^21^2-!- «si ^3) + • • •
est égale à
jg — idh H- df ;
if—jh-^g
dh f
dh jg -
- idh + df g
l'équation jg — idh '\- df ^=^0 s'interprétera comme plus haut. En vertu des relations c[ue nous venons d^obtenir, on trouve tout de suite, par multiplication de deux déterminants,
kx
c'est la relation qui existe entre les huit invariants du système.
Les invariants absolus géométriques proprement dits dépendent des rapports des racines des équations en p ou cr, c'est-à-dire encore des rapports des quantités i^ ^ j^ et d'^.
208. Pour aller plus loin, nous allons examiner successivement les divers cas qui se présentent quand on fait les différentes hypothèses possibles sur les racines p,, p2, p3 de l'équation en p. Nous supposons d'ailleurs que l'homographie n'est pas singulière, et qu'elle n'est pas définie par la substitution identique.
T. — n équation en p a trois racines distinctes. 11 existe alors trois éléments doubles de chaque espèce n'appartenant pas à un même faisceau. Si les (^) doubles sont pris pour
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