CHAPITRE VI. ~ L4 FORME BILINÉAIRE ET l'hOMOGRAPHIE

éléments fondamentaux, on a

g — a22<^33^1?l-r- «^33'^11^'2?2-^ <^1 1 <^22 ^3 ^3 j ?, = ail -T- <^22 ~r-" <^33? y = <^22 <^33 + ^33 <^<^1] ~T~ <^11 ^22? a = «u a22 <^33 j

e t en appelant A le produit non nul (ci^i- — ^^3 3) (<^3 3 — ^n ) (^*^ h — ^22)^

Les éléments doubles de seconde espèce sont donc les Ù/, ainsi qu'il était évident; /r = o est leur équation, et de même y^ ^ o est Féquation des éléments doubles de première espèce.

Soient (^) et (j}^) deux éléments correspondants des séries X et Y; leur rapport anharmonique avec les éléments doubles £l^

et Ùq est ^^^^ -, et par suite a la valeur constante -^; la même

^3jK2 ^ <^33

chose a lieu pour les autres éléments doubles et aussi pour les éléments de seconde espèce. Si (^) est commun à Ùi et {xy), le rapport anharmonique de (^) et (^) avec Ù2 et O3 est de même constant et facile à calculer. On a ainsi obtenu la signification géométrique des invariants absolus.

Deux éléments correspondants peuvent être considérés comme deux espaces à une dimension homographiques : il est clair qu'ils sont en homologie si l'un d'eux contient un élément double appartenant nécessairement à l'autre, et dans ce cas seulement.

II. — p^ est racine simple ; on a p2 = P3, ^^ cette racine double n! annule pas les mineurs du déterminant Ç5(p).

Ce cas est limite du précédent. On peut réduire / à la forme simple

/= aiii?7i^l-f- (a22^2^- «32^3)^2 ^- <^33^3i3,

avec

O^ et O2, 0^ et O3 sont doubles; Oi et Ùi correspondent à pi, Oo et O3 correspondent à la racine double p2.

III. — pi est racine triple et n^ annule pas les mineurs du déterminant ^(p).

C'est encore un cas limite du précédent. A p4 correspond un élément double de chaque espèce, et ces éléments se contiennent;

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en les prennnt pour O2 et ù^^ on a avec

aji = «22 ^= <^33j <^12^3l7^0'

IV. — pi est racine simple; on a p2=p35 et cette racine double annale les mineurs du déterminant cp(p).

Dans ce cas, à p^ correspond un élément double de chaque espèce; ces éléments ne se contiennent pas, et peuvent être pris pour Oi et Qj ; à la racine double correspondent tons les éléments que contiennent ù^ et 0\, comme doubles.

La forme canonique du cas I subsiste, avec a22=<^<^335 de sorte que k et y^ sont nuls identiquement, ce qui n'arrive pas dans les cas précédents.

Deux éléments correspondants de première ou seconde espèce appartiennent avec 0\ ou Q^ à un même faisceau; si (^) et [y) sont deux tels éléments, et si {z) est commun à Q, et à {xy)^ le rapport anharmonique [xyG^z) a une valeur constante. On dit, dans ce cas, qu'il y a homologie,

V. — pi est racine triple et annule les mineurs du déterminant ^(p).

C'est ici un cas limite de l'iiomologie. A p, correspondent une infinité d'éléments doubles de chaque espèce, situés sur deux éléments Oo et Ù3 qui se contiennent. On a alors

avec

209. En général, les éléments doubles seuls ont mêmes correspondants quand on les suppose appartenant successivement aux séries X et Y. Dans quel cas y a-t-il im^olution^ c'est-à-dire un élément quelconque a-t-il toujours même correspondant, qu'on le considère comme appartenant à la série X ou à la série Y?

D'après le n^ 207, il faut que if — jh -+- g se réduise à un facteur près à h'^ donc d'abord /r, jacobien de/, g, h fonctions des (i), est nul identiquement. Or ceci n'arrive que dans les cas IV et V; pour qu'il y ait involution, il faut encore dans le cas IV que

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