CHAPITRE VI. — LA FORME BILINÉAIRE ET l'hOMOGRAPHIE. 1i

Fon ait a^ 4- ^00= 0; dans le cas V, il ne peut y avoir invokition, riiomographie étant supposée non singulière.

Dans le cas unique de l'involution, on voit immédiatement que, sur chaque élément double, il y a involution déterminée par les éléments correspondants; le rapport anharmonique tel que (xyOi z) envisagé précédemment est égal à — ^ i .

210. Cherchons, dans le cas général I, par quelles transformations on peut passer de la forme /à la forme canonique

y- — a^ 1 X^ Çi ■+■ <^2 2 ^2 V2 "^ ^^3 3 ^3 S3 "

7^. la racine p/ de Féquation cp(p)==:o, correspond l'élément double ù'^ dont l'équation est déterminée par

si (y) et (z) sont deux éléments quelconques, les trois dernières relations peuvent être remplacées par

et l'équation de ù'- est par suite

Xi X2 x^ I

aiijKi-l-a2ijK2-H a3ijK3— p,-jKi .. .. L

c'est-à-dire, en posant (^yz)i-='/]i,

Nous pouvons donc poser, (v]) étant quelconque,

le déterminant de cette substitution, pour passer des (^^)aux (^), est égal à

un calcul facile donne ensuite en partant des (^'^•), posant ti^=:(^r\)i,

An. — I. i5

Hosted by

et appelant A le jacobien par rapport aux [x) des formes /{^^ V)), gi^i '^) et (^ j x),

-^J 9k fit. r,) — p/<^(^ '/]) -f-'J;

(pi- P/)(P/— ?/c)X('^i)

0/ et c/f désignant les racines de ç(p) autres que p^.

Quant aux coefficients, on a ct--=^ p/.

On obtiendrait des formules analogues en partant des équations (les éléments doubles de première espèce O^-.

211. Si un élément (x), appartenant à X, décrit une série d'équation /= l)^p=zo, l'élément correspondant (j/) de Y décrit une série de même degré dont l'équation est

De même, si (i) appartenant à X décrit une série \ = j8p=i: o, l'élément correspondant (tj) de Y décrit une série de même degré dont l'équation est

X(aii^i-+- a2i?2^- «31^3. "', ...) = o.

On peut aussi dans le premier cas envisager la série formée par les éléments {^y), définis par deux éléments correspondants, et dans le second cas, la série formée par les éléments {k'/]).

Si {^y) a pour coordonnées (Ç), on a {^\oo) := o,/(^, Ç) =: o; on peut en tirer les (x), et portant dans l'équation / = o on a l'équation de la série des (x^y)') de degré 2p.

De même dans le second cas, si ($'/]) a pour coordonnées (5), on a {l\z)=o, g{z, i) = o.

Dans le cas général I, les formules se simplifient.

iy) décrit la série

(7i) décrit la série

A(a22<^33vlj ^33^1lÇ25 <^<^1 1 <^22 Ç3 ) = O ?

(5^) décrit la série

Z[(a22— «33)?2Ç3, (^33— ^^lOCsbb ^ «1 1 " ^22 ) ?1 ^2 ] == O ;

(z) décrit la série

'k[aii{a22 «33)^2-23; «22(<^33 «ll)^3^J> «^33 ( ^1 1 ~ <^22 )^1 ^2 ] = O .

Hosted by