CHAPITRE VI. — LA FORME BILINÉAIRE ET L HOMOGRAPHIE
212. Ces formules simples peuvent donner lieu à de nombreuses applications.
Cherchons, par exemple, si la série des [y) peut être identique à celle des [x). Si le degré de / = o est i , on retrouve ainsi les éléments doubles de seconde espèce.
Si Je degré de /= o est supérieur à i, il est clair que si les an restent arbitraires, le problème est impossible. Mais, si l'on a par exemple a\^ = a2 2<^^3 3, toutes les séries dont les équations seront de la forme ^{x]', ^2-^3) ==o répondront à la question : elles se décomposent en séries quadratiques telles que x^= 2X^0^3? \ étant une constante arbitraire.
De même, si l'on prend pour a^, «225 ^zz l^s trois racines cubiques de l'unité, les séries d'équations telles que
ou bien
'^{x\X2, xlXs, ^l^l) == O,
ou encore
9(^1^1, x^x^, x-^xl)=^ o
répondront à la question.
Ce sont là les types des solutions.
Les invariants dont l'évanouissement exprime ces faits sont faciles à calculer.
Considérons maintenant la suite d'éléments (^^^^), (x^^^), (^^-^), . . . , tels que {x^'^^) corresponde dans Y à (x^'^~^^) de X, et dans X à {x^"-^^^) de Y. Les équations de (^^^^), (x^^^), > . . , (x^^'^), sont respectivement
{^r\x)^0, CCnXi^i-^ <^22^2b-^ «33^3^3 = 0, . . .,
si les (x) sont les coordonnées de (x^^^) et si l'on emploie les formules canoniques. Si en général f^ est le premier membre de l'équation de (^^'^^), on a la relation de récurrence
fn-hl = ifn — jfu-\ -T- dfn-2 5
d'ailleurs on a
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d'oii
/3 = ig -^{ii^j)f-\-{d ~ ij) h,
On pourrait de même prolonger la suite dans l'autre sens, avec des indices négatifs, de sorte que
df^, == g, d^f^.^ = jg + df~ idh,
On peut chercher la condition pour qu'un certain nombre des éléments x^'^\ de rang donné, appartiennent à une série de degr(; donné. On trouve ainsi des conditions invariantes faciles à calculer. Ainsi / = o exprime que les éléments (^^^^), {x^^^)^ [x^-^^) sont alignés; y == o exprime le même fait pour (^^^^), (^^-^), {x^'^^)] la condition pour que six éléments consécutifs appartiennent à une même série quadratique est i^ cl — j^ = o, . . . : cette série quadratique se reproduit alors elle-même par l'homographie; etc.
On verrait encore aisément que la condition / = o exprime qu'il existe une infinité de suites triples proprement dites {xyz) telles que les éléments (^), {y), {z) appartenant à X, leurs correspondants dans Y appartiennent respectivement aux éléments de seconde espèce (i), (t)), (Î^) delà même suite; et aussi qu'il existe une infinité de suites triples proprement dites {^^iC,) telles que les éléments (?), (ti), (Q appartenant à Y, leurs correspondants dans X appartiennent respectivement aux éléments de première espèce (x), (j/), [z) de la même suite. Dans le premier cas [y) et [z) par exemple sont arbitraires; dans le second (t; ) et (Ç) sont arbitraires. Si i n'est pas nul, il n'existe aucune suite triple proprement dite répondant à l'une des conditions précédemment indiquées.
La condition j = o s'interprète d'une façon analogue, le rôle des espaces X et Y étant interverti.
La démonstration de ces propriétés est en tout semblable à celle que nous donnerons plus loin pour des propositions analogues relatives à deux séries quadratiques.
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