La forme quadratique

f =z a^s = Clii^l -^ «22^1 + «33^3 + ^«23^2^3+ 2«31^3^1 + 2«i2^i^2

ne dépend que de si^ coefficients, et a cependant un invariant proprement dit, son discriminant ou hessien

cl =

ciij et ciji ayant la même signification.

Si cl n'est pas nul, /= o est une série quadratique proprement dite qui n'a aucune singularité; sa classe est 2, comme son degré. Si cl est nul, / se décompose en un produit de deux facteurs linéaires; et si en outre tous les mineurs de d sont nuls, ces deux facteurs sont proportionnels, de sorte que/* est un carré parfait.

L'élément (i) est tangent à/, si l'on a, en faisant /^,.:r= - -y^, les conditions

?i ~ b " la '

d'où la relation •

lï ^- ^3 0

La forme équivalente à /, ou la forme tangentielle de /, quand cl

Hosted by

23o LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

n'est pas nul; est donc en posant

an = ciiiCi-?,-^-

de sorte que les atj sont les mineurs de d.

Le système formé par/, les (^) et les (^) admet les quatre invariants/, cp, 6/ et (^ I ^).

On a

«llO(li-!-. . . -h 2, «12^12-1-. . . — Zd\

le hessien de o est o = d- ; la forme tangentielle de cp, obtenue en partant de o comme cp en partant de /, est/^/, de sorte que

fd^

au ai2 ai3 ^i

ai 3 a23 a33 ^3

Si <:/est nul sans que tous ses mineurs le soient, /se décompose en un produit de facteurs linéaires distincts

/=(rj x){X\x).

Les éléments (v)) et (Q ont en commun un élément (j/), double pour/, qui vérifie les trois équations /^.=: o, alors compatibles.

En faisant j^/= ('^Oo ^"^ ^^it facilement que cp = — 7 (j^ I i)"? ^^

sorte que o est un carré parfait, et cp = o représente deux fols l'élément double (y).

Si les mineurs de d sont tous nuls, la forme o est nulle identiquement; on a

Les f-^. sont proportionnels à (tj | ^) ; on a

ce qui détermine (tj | ^).

2,14. Si Ton adjoint à la forme / les variables i^x) et (jk)? on a les invariants a^2, aj2, <i, et la polaire a^j.

D'après les propriétés générales des polaires, axj== o est nne

Hosted by