CHAPITRE VU. — LA SÉRIE QUADRATIQUE
série linéaire qui est le lieu des éléments (^) conjagaés harmoniques de l'élément (y) par rapport auK éléments communs à / et à {xy),
La symétrie de l'équation a^y = o par rapport aux (^) et aux [y) montre que, si (^) appartient à la polaire de (y), [y) appartient inversement à la polaire de [x)] {x) et {y) sont alors dits co/?/^^- ^7^65 par rapport kf.
Si quatre éléments (j/), (^), (i), {u) appartiennent à un même faisceau, il en est de même de leurs polaires, et le rapport anharmonique de celles-ci est égal au rapjDort anliarmonique [yztii)] en efTet, les coordonnées des éléments (^) et celles de leurs polaires sont liées par les formules d'une substitution linéaire, de sorte qu'une homographie particulière est ainsi définie.
Si (t)) est la polaire de [y] par rapport à/, [y) est aussi la polaire de (ri) par rapport à cp (si d n'est pas nul), comme le montre un calcul facile. Nous dirons indifféremment, suivant la commodité du langage, que [y) et (ti) sont pôle et polaire par rapport à / ou o.
En supposant toujours d non nul, [y) n'appartient à sa polaire (y|) que s'il appartient à/, et alors (t]) est l'élément tangent à y en [y): On voit aussi C[ue (yj) contient les éléments de contact des éléments tangents menés à/par (j/) ; q^ie si (y), (^), {t) appartiennent à un même faisceau, ainsi que (jk), (^^), (^^), et si (^), (i^), {z'), {t') appartiennent à/*, (y)) contient l'élément commun k(^zz') et {tt')] etc. Les mêmes choses ont lieu par rapport à cp.
Si <:/=o sans que ses mineurs soient tous nuls, et si {j) est alors l'élément double de/, la polaire de (s) est l'élément conjugué harmonique de {yz) par rapport aux éléments de seconde espèce qui constituent/'; la polaire de (y) est indéterminée. Inversement^ on en déduit la position du pôle d'un élément (^).
Si / est carré parfait, la polaire de (^) est l'élément représenté deux fois par/; si [z) appartient à/, sa polaire est indéterminée.
Comme application, on vérilîera sans peine que si l'on considère une suite triple {y)^ {z), (t)^ et la suite formée par leurs polaires (tj), (Q, (9), ces deux suites sont homologiques, c'està-dire que les éléments | y (^9)], [.s (Sv])], [^('/^Q] sont alignés ainsi que les éléments ['ri(^^)], [Ç(^Jk)], [^(y^)]; si d'ailleurs les premiers sont alignés sur (a-) et les seconds sur (5), (s) et (cr) sont pôle et polaire par rapport à/.
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215. Nous n'insisterons pas sur les invariants du système formé par y et un nombre quelconque de variables (^x) ou (^) : ils sont tous de tjpes déjà connus. Nous signalerons seulement quelques identités souvent utiles.
On a d'abord
an ^12 <^i3 qi ^12 ^*^22 ^"^23 ^2 <^13 <^23 <^33 ^3
(Jll)a(H-r])(Ç6) =
\\ 'Ci'l "^iS
an ai2 ^13 çi
Si
(11) da^y=-
ai2 «22
Jl 72
«13 ^1 ri
ai2 «22
(IV) a(^^,-)(^i) =
Zi Z2
OÙ (^7)) par exemple désigne comme d'habitude l'élément de première espèce défini par (^) et (y]). D'ailleurs, dans ces formules comme dans ces suivantes, des variables de même espèce pourront être supposées identiques à volonté.
Si, dans (1), on remplace les (rj) par les (/j), le premier membre devient dÇi \y)^ ainsi qu'il était facile de le prévoir; si l'on remplace encore les Ci) par les {fx)-, le premier membre devient da^y
De même, si dans (11) on remplace les {y) par les ('fri)^ le premier membre devient d'^(jr\\x)] remplaçant encore les [x) par les (cpi), on obtient d^a^^f^.
Dans (lïl), remplaçons les (7^) par les {fy) : le premier membre devient aiu^j^e^j ; remplaçons encore les (^) par les {/x) • on obtient d[xy{(^^)]. Remplaçons les (^r\) parles (fy) et les (9) par les {ft)', on a ayt^ix^ — d(y \^)(t\\)\ remplaçons les (i), les ('/]) et les (6) •comme précédemment : on obtient <^[(Ç|^)aj^ — (Ç |jK)<^^^f]î enfin, si l'on remplace encore les (Ç) par les (fz)-> on obtient finalement d{ax.z(^yt — ClyzCtxt)'
On pourra opérer de même sur l'identité (IV).
