CHAPITRE Vil. — LA SERIE QUADRATIQUE
etj par suite, immédiatement,
Ci'xt ^yt (^zt
(^xv ^r
= d{xyz){tiw),
m a^e aï;ô
«r/ ^rCi HX
Enfin considérons l'expression ctxz^f^ytnant est le produit des deux matrices
0'yzCixt\ ce dé ter mi-
Zi
et
tl
/.ri Jx. Jxz
Jyi Jy- Jïz
el, par suite, d'après une règle connue, est encore égal à ^^(^xy){zt)'i de sorte que l'on a l'identité
<^l'xz^yf — (^xtC^yz'==- '^[xy){zt)'i
de même, on aurait
a?j;a^^e— ^^0^0^== ^^«(Ho)(r6)- En particulier, on aura
Clx~Cty- ^xj ^^ ^{xy^'i
217. L'équation des éléments tangents à /qui contiennent (jk) est évidemment a(^j)2r=z o, ou encore ax^ciy--- — <^^^= o.
La forme équivalente à a.^xy)', considérée comme forme quadratique par rapport aux {x), est, par un calcul facile, day^'{\\yY^ ainsi qu'il était facile de le prévoir : elle est nulle identiquement si {y) appartient à/.
On peut retrouver les résultats précédents de la façon suivante : soit {x) un élément quelconque, de sorte que tout élément de {xy) est ()h ^ -h )v2JK) ; cet élément appartient à/siPona
Xf a^^-f- 'i\i\^aa
A 9 Cly'i ■ O '■)
cette équation définit les éléments communs kf etk(xy) : ils sont confondus, c'est-à-dire que (xy) est tangent à/, si l'on a
Cl-x-^y- Ci'x.\
En éliminant les Çk) entre l'équation précédente et l'équation
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on obtient
c'est Féquation des éléments communs à /" et à (^J")- On peut l'écrire aussi en appliquant à o ce qui vient d'être dit aa sujet de/
en fait, il j a identité entre le premier membre de cette équation et celui de la précédente, au facteur d'près.
Appliquons ceci en remplaçant les (^Jk) par les fz, nous aurons l'équation des éléments de contact des éléments tangents menés à/ par (3); soit, d'après les identités connues,
ci-f2a^-2~ d{^ I zy = o.
La même équation convient, en y regardant les (^) comme variables et les (^) comme données, pour représenter les éléments tangents à/ aux éléments communs à/et à (;).
218. Le rapport anharmonique p des éléments (x) et (jr) associés aux éléments communs à /" et à (xy) est, d'après une équation précédente, facile à calculer. On a
Si (y) et p sont donnés, le lieu de (x) est une série quadratique facile à définir plus complètement; dans le cas particulier de p = — T , on retrouve la polaire <2^j= o.
De même, le rapport anharmonique p des éléments tangents à/ contenant (^7j) avec (^) et (r^) sera
