CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE. l

Par suite, il vient

a^y^fay2a^2= a^yzy^a^y-i- af^^);^,-;,-^- day2(xyzy.

Cette identité fournit une décomposition de a^2 en une somme de trois carrés de fonctions linéaires indépendantes, et il est facile de vérifier que c'est la formule la plus générale cjiii réponde à cette question.

Si cl est nul ainsi que tous ses mineurs, on a simplement

«^-.a^srr^ al y-,

si d est nul, sans que tous ses mineurs le soient, le troisième carré disparaît et la formule fournit immédiatement les facteurs linéaires dans lesquels /se décompose.

Dans le cas général, [y) et (z) sont arbitraires : axj= o est la polaire de i', a(^.^>(js) = o est la polaire de l'élément commun a aa,y— o et à (yz).

220. On peut ainsi, et de la façon la plus générale, ramener /' à la forme canonique simple

y= ai[X\ -f- a^^x\ -I- «33^1 ; on a alors

d=^. aixa^^^a^^, cp = «22^33 ?ï ~- «33 «ii ^ -1- ^^ii «22^ •

La suite triple de référence est telle que 0/ et û/ soient pôle et polaire par rapport à/': on dit qu'elle est conjuguée par rapport à/. Il existe une triple infinité de telles suites triples, car on peut prendre 0| arbitrairement et O2 arbitrairement sur. la polaire deO/.

Si d est nul, / se ramène à la forme

f =z a^i^l -4- «33 .^0 , ou bien

et la signification des éléments de référence est évidente.

On vérifiera que si deux suites triples sont conjuguées par rapport à une même série quadratique /, les six éléments d'une même espèce qu'elles définissent appartiennent à une même série quadratique.

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221. Dans certains cas, il j a avantage à choisir une autre forme canonique.

Si la suite de référence 0^0203 ou Q, t^2^3 est inscrite k f^ c'est-à-dire si les 0/ appartiennent à/, on a

etj par suite,

o = — «Is^f — a|iM— a.f2^|H-'iai,ai3Ï2?3-t-2a23^2i?3fi-H2a3ia32?i^2;

en même temps, on dit que la suite O^ O2O3 est circonscrite à îp. Si la suite 0,0203 ou Q, ^2^3 est circonscrite à/ et, par suite, inscrite à cp, ,on a de même

y^ — ol\.^x\ — a|i^| — a 12^3 + 2ai2ai3^2'^3--r-2a23a2i^3^i4-2a3ia32^i^2?

Ci^=^ 4'^23'^31 ^12?

O = 2a23a3iai2(2a23?2^3-l- 2^31^3^!+ '>^^M^XA^)'

On vérifiera sans peine que si deux suites triples sont inscrites ày, les six éléments de seconde espèce qu'elles déterminent appartiennent à une même série quadratique; le théorème analogue a lieu s'il s'agit de suites triples circonscrites à/*.

II. — La série quadratique définie par une forme bilinéaire à deux séries de variables binaires.

Nous avons déjà vu comment une forme bilinéaire à deux séries de variables binaires pouvait définir une série quadratiqvie ternaire. Si

g T=^ a\\ \\ [J-i -f- Cl\=i f\\ [J.2 -T- 6^21 ^^2 î-'-l ~i~ ^22 ^2 ^-2

est la forme donnée, il suffit d'imaginer par exemple que les (X) et les ([x) définissent deux éléments de seconde espèce, désignés pour abréger par QC) et ([i.), ayant pour équations

Ài(t 1^7) -1- X2(C I ^) =0, [JLi(6 1 ^)-l- |J.2(X. 1 iP) = 0,

et de chercher le lieu de l'élément (^) commun à ces deux éléments, lorsque l'on suppose vérifiée la relation ^==0. Ceci revient à mettre en correspondance homographique les faisceaux formés par les éléments ().) et (^a).

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