CHAPITRE I. ~ INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES
mêmes un groupe à trois paramètres contenu dans le premier. Pour ce groupe, on peut définir et rechercher les invariants absokis comme nous l'avons fait pour le groupe des substitutions 0-; si l'on remarque que toute substitution du groupe peut être obtenue en combinant des substitutions des formes suivantes :
j ^j " e^ux[ , ( ^1 = ^'j + 0)12 i^2) ( ^1 =" ^'l 5
on en conclut immédiatement que ces invariants absolus sont les solutions des trois équations aux dérivées partielles
AiiF — A22F — o, Ai2F~o, A2iF=o,
qui forment un système complet, et qui sont indépendantes en nombre q — i .
De plus, ces invariants peuvent être pris rationnels; il suffit de répéter les raisonnements des n°^ 17 et 18. Ils peuvent même être pris entiers, car, sans cela, ils conduiraient à des invariants non absolus, et un raisonnement semblable à celui du n° 23 montre qu'il n'existe pas d'invariants non absolus proprement dits pour les substitutions considérées.
Enfin ces invariants, pris entiers, peuvent être supposés homogènes séparément par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients qui constituent le système S : on le voit comme au numéro précédent.
Les invariants absolus relatifs aux substitutions <7 de déterminant I, qui vérifient toutes les conditions que nous venons d'énoncer, peuvent évidemment être pris pour les termes d'un système fondamental d'invariants ordinaires du système S : ceci résulte des conditions d'homogénéité imposées, de la forme des équations de transformation, et de ce fait que l'on passe de la substitution générale a- à une substitution de déterminant i, en
remplaçant les coefficients A/y par -—-
On retrouve ainsi, et cette fois sans exception, la démonstration de l'existence d'un système fondamental d'invariants entiers pour le système S.
28. Les invariants entiers du système S, vérifiant les conditions
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d'homogénéité plusieurs fois indiquées, sont, comme nous l'avons déjà dit, les seuls que nous considérerons : de même, nous pouvons nous borner à la considération des invariants absolus qui sont les quotients de deux tels invariants. Ces conventions sont faites une fois pour toutes.
Les invariants sont les solutions des trois équations
AjiF — A22F = o, Ai2F = o, AgiF^o,
distinctes en nombre q — i , formant un système complet.
L'ordre ^ d'un invariant F est déterminé par la relation qui termine le n"" 26.
L'identité d'Euler pour les fonctions homogènes donne alors
A.iF-f-AasF^ 2[jlF, d'où résultent les équations connues
AuF ^A22F = JJ.F.
En se reportant aux formules de transformation relatives aux substitutions o-^ et 0-22, on voit que ces équations expriment simplement que F est une fonction isobarique de poids p. par rapporta chacun des indices 1 et 2.
D'autre part, effectuons la substitution particulière
oc \ — '■ «^ 2 J <x^% — ^ 1 >
de déterminant — i. Elle donne aussi]
si donc F est un invariant d'ordre [a, F doit se reproduire multiplié par ( — 1)^- quand on permute les indices 1 et 2 : si [x est pair, l'invariant est dit droit; si pi est impair, il est dit gauche. Il est clair qu'une fonction entière, isobarique de poids [x, homogène séparément par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients du système S, se reproduisant multipliée par ( — i)!^ quand on échange les indices i et 2, est un invariant d'ordre ^ si elle vérifie une seule des deux équations
Ai2F = 0 ou AoiF^rO.
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