CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE

L'équation de la série /ainsi définie est

^hiiZ I ^)(X I ^) — ^i2(Ç I ^)(6 i ^) — ^21 (-n I ^)(X I ^) -^ ^22 (^ I ^)(6 I ^) == o ;

elle contient les éléments {'Z]^) et {^'/J- Le discriminant de /est

— j (a.iia22— ai2^^2i)[«ii('^Cx)(^^X.)-^^^i2(''QÇÔ)(x.(;6)

+ ^2i(?'ox)(eT]x) + ^^22(C^o)(x'oO)]-

Il s'annule quand l'invariant de la forme g est nul, et encore lorsque l'élément [{'^iK){^x)] ^^ correspond à lui-même dans les deux faisceaux homographiques considérés (158).

L'élé^ment tangent en (tX>) par exemple est l'élément ()^) qui correspond à l'élément (ja) contenant (tj(^).

223. Pxéciproquement, si (j) et (z) sont deux éléments fixes quelconques d'une série quadratique, et si (x) désigne un élément variable de cette série, les éléments (xy) et (œz) forment évidemment deux faisceaux homographiques, puisque la correspondance qui existe entre eux est univoque sans exception.

On voit par suite que, si l'on considère quatre éléments (x) de la série, les quatre éléments correspondants (^jk) ont un rapport anliarmonique constant qui ne dépend pas de l'élément (y) : on l'appelle le ixipport anharino nique des quatre éléments (^) de la série/.

Lorsque le rapport anharmonique i^x^'^^ x^-'^ x^'^^ x^'''^) ainsi défini est égal à — i, on yérifie aisément que (^^^^^^2)) ^i (^^3)/ç(/.)) ^ont deux éléments conjugués par rapport à /.

Tout ceci peut se répéter pour des séries et des éléments de seconde espèce. En particulier on voit ce que l'on doit entendre par rapport anharmonique des quatre éléments tangents à/en (^('^), (^^^^), (^^^^), (^^'•^), et il est clair que ce rapport est égal à celui de ces quatre éléments (^) eux-mêmes, d'après une remarque faite au n^ 214.