III. — La série quadratique comme série rationnelle

224. D'après le n° 223, il est clair que les coordonnées d'un élément (^) d'une série quadratique peuvent s'exprimer sous la

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forme

les/; étant des formes quadratiques par rapport aux ().).

Réciproquement, de telles formules représentent une série quadratique, si toutefois les fi ne sont pas liées par une relation linéaire, comme il est évident.

L'élément (a) de coordonnées [x) a pour élément tangent celui qui est défini par les formules analogues :

T (df, df, df, df,\

P^i - 7 JT. Trn " .nZ 7nT ~ "^ (Z^' f'-'^ " ^ri'

4 \dAi 0X2 <^'^^2 à\i

La série / et la série tangentielle cp sont ainsi cleux espaces à une dimension homographiques dont les éléments homologues sont les éléments de f et les éléments tangents à /correspondants.

Si (y) est un élément fixe de /*, les coordonnées de (xy) sont faciles à calculer; en appelant (^.) les paramètres relatifs èi(y). on peut écrire

fAl)f,(l^)-f:Al)Â(p^)

p(^).^^^li^l^^^;^---^^--'--^DLo.,

ces expressions sont linéaires par rapport aux (a), comme on devait le prévoir : donc le rapport anliarmonique de quatre éléments (x) est égal au rapport anliarmonique des quatre couples de valeurs (1) correspondantes.

Ajoutons que, pour Télément défini par les éléments tangents en (X) et (a), on peut écrire

225. L'étude de la série/ainsi représentée correspond, comme nous l'avons déjà dit, à celle de la forme

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