CHAPITRE VII
LA SERIE QUADRATIQUE.
Si l'on fait
/3== Co Xf M- '2 Cl XiXs-^ ^2 XI,
2eLte forme a le seul invariant multiple
L'équation de / est
bo bi 6-2
Co C| C2 i
^2 O bo 'ibi ^2 o
^3 O Co 2 Cl C2 O O ^3 O Co 2 Cl C2
son discriminant est — /{i\
La forme canonique de la représentation précédente est obtenue en faisant, ce qui est toujours possible,
p^j — - '2Xj X2,
alors on a, pour la série tangentielle,
pU=- - X1X2, Pb-Xl,
P^a-X?; on peut écrire
y étant un facteur quelconque; le discriminant de /est — 4^^? et la forme cp est
La série / contient O2 et O3 et y admet O3 et Oo comme éléments tangents.
L'équation de l'élément de seconde espèce (^p^), c'est-à-dire de l'élément de seconde espèce défini par (X) et ([a) est
— ^i(Xi [JL2-1- X2 {J-i) -I- 2X2^-2^2-^- ^Xi i^io^i — o.
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De même, l'équalion de rélément de première espèce, défini par les éléments tangents en (1) et (p.), est
^1 ( ^^1 P-2 + ^^2 l^i ) + ''m P-1 ki -^ ^^2 [^2 h = ^'
226. Ces formules simples peuvent servir à résoudre de nombreuses questions sur les séries quadratiques : on en peut, par exemple, tirer une démonstration des théorèmes de Pascal et de Brianchon, ainsi que des nombreuses propositions qui s'y rattachent. A cet égard, nous attirerons l'attention uniquement sur les deux cas particuliers d'une suite triple ou quadruple inscrite à /.
Pour une suite triple (a^'^), ()^^^^)j (>^^^0' ^^^ éléments tangents en (Î^^^Oî (^^^0' (X^3^) ont en commun, avec les éléments opposés ().^^^'X^^^), . . .y trois éléments alignés suivant (t)); l'élément tangent en ("Xi) est conjugué harmonique par rapport à ().^'^X^2)) et (X('^).(3)) de l'élément qui contient (V^^) et le pôle de Çk^^^'k''^^) : les trois éléments analogues à ce dernier sont alignés suivant (y), pôle de {'r\).
Pour une suite quadruple ()^^'''), Q-^^'^^), (^'^0? (^^'0? ^^^ éléments tangents en {1^'^) et {V^^), en (1^^^) et Q&'^), et les éléments (l^^^l^^y) et Çk^^^W'^)^ (V'^0.^3)) et {V''^V^^) déterminent quatre éléments alignés suivant (y;), et formant un faisceau harmonique; en disposant les éléments (\) donnés dans tous les ordres possibles, on obtient deux autres éléments analogues à (tj), soit (Q et (9). Fm faisant pour les éléments tangents à / aux éléments (X), ce que nous venons de faire pour les éléments ()\) eux-mêmes, on obtient une suite (y), (z), (t) analogue à la suite ('/^), (Ç), (9). Ces deux suites sont équivalentes, et, par suite, conjuguées par rapport à la série quadratique/*.
227. Voici encore une application générale très importante. Considérons nne série quelconque g :=: bccF=: o^ de première espèce par exemple, et de degré p. Chacun de ses éléments contient deux éléments tangents à f; si les éléments de contact correspondants sont Çk) et ([Ji), la série g = o établit donc entre Çk) et ([J.) une relation de degré p par rapport aux variables de ces deux couples, et symétrique par rapport à ces variables : en effet, pour les formules canoniques précédemment développées, cette
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