CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE

relation est

^•( A 1 JJI2 -H X2 JJ-i , ^ i y.[ . ^9.lJ-i) = o.

Dans le cas général, avec les mêmes notations que précédemment, on aurait

g- [ «0 Xi (JL-i + «1 ( X 1 [J,2 •+- X2 (J-1 ) -i- CI2 X2 [^-2 5

^0X1 [^1-4- ^l(Xi [a2-|- X2 [Jt]) 4- ^2X2[^2j • • •] = 0.

Réciproquement, considérons une forme aux deux systèmes de variables binaires Çk) et ([;.), de même degré p par rapport à ces variables, et symétrique par rapport à ces variables : égalée à zéro, elle définit, si l'on veut, une série ternaire de première espèce de degré p, dont l'équation est obtenue, par exemple, dans le cas des formules canoniques, en remplaçant )^j [^-2 + ^2 [^h? ^i p-i ? ^2(^2 par ^j, œoj ^3-

A ce cas on peut ramener celui plus général où l'on donne une forme non symétrique par rapport aux (X.) et aux (ji.), des degrés p^ et p" par rapport à ces variables, soit^''()^, [i.) : nous supposons cette forme indécomposable, bien entendu. Alors on envisagera le produit g^')^') l^)é*''(P'' ^^)^ ^^ ^'^^^ définira ainsi comme tout à l'heure une série ternaire de de^ré p' -}- p^\

C'est ainsi que l'équation de la série/ elle-même est (X^a)=::o.

Toutes les fois que la série ternaire g sera indécomposable, la forme correspondante en (\) et(u.) sera elle-même indécomposable, ou bien sera le produit de deux facteurs indécomposables, se transformant l'un dans l'autre par le changement des Çk) en ([i.).

228. Nous allons étudier quelques-unes des propriétés des séries définies par une équation ^( A, i^)= o, symétrique, de même degré/? par rapport aux ().) et aux (tx) : nous aurons toujours à supposer que g est indécomposable, ou bien que g se décompose en deux facteurs tels que g'i'k, [a), g'{[f^^ )^), le premier étant des degrés/)'' et p'^ par rapport aux (1) et aux (p.).

Les éléments communs à la série quadi^atique / et à la série g sont déterminés par l'équation gÇk-) ')\) = o; ils sont en nombre 9.p : mais, dans le second cas, ils sont distincts en nombre/? au plus, puisqu'il suffit d'envisager l'équation ^^(X, 'k)=z o. Par suite, dans le second cas, nous pouvons dire d'une façon générale que la série g esl p fois tangente à la série/".

An. — I. 16

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Considérons maintenant les deux équations

oiii 01x2

qui admettent '2p(p — i) solutions (X), ([a). En général, si ().), (u) est un tel système de solutions, l'élément tangent k f en (X) a deux éléments communs confondus avec g ; il est tangent à g, ou bien l'élément défini par (X), (u) est double pour g. Ce dernier cas se présentera si les équations

sont aussi vérifiées par ce système de solutions, qui sera alors double pour les équations primitives, ainsi que le système obtenu en permutant les (X) et les ([j.); si toutefois on avait (Aa) = 0, la série g serait seulement tangente à /* en (X). Tout ceci est conforme aux formules de Pllicker, puisque la classe de g est en général p[p — i), et se trouve diminuée de deux unités pour un élément double.

On a ainsi le moyen de déterminer les éléments tangents communs à/* et à gj et les éléments doubles de g.

En particulier dans le second cas, où g' = g'^(X, l^)ë'^il^-> ^0? ^^^ équations à considérer deviennent

elles admettent, puisqu'elles expriment que le discriminant de g par rapport aux (jj.) est nul :

1° Les solutions des équations g^ i^k^ |j.) = o, g\\^^ X) = o, en nombre total /?^^ + />'^^, comptées chacune deux fois;

i"" Les solutions des systèmes

en nombre total ip'{jf — i) + ip" {p' — i).

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