CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE

Ces dernières ne correspondent pas en général à des éléments doubles de g. Quant aux premières^ elles comprennent d'abord les solutions de l'équation g' Q^^ )^) = o avec (X[ji) ^=: o, en nombre p' -{- jf ] ces solutions indiquent, comme nous le savons déjà, que la série g est p fois tangente à f\ les solutions qui restent, en nombre p' {p' — \) -^ p" {p" — i), correspondent à

^ ^ ^ ^ + ^^ ^ " éléments doubles de g en général.

La classe de g est donc ip'p" . Cette série a, avec g^ /^p'p" éléments tangents communs, parmi lesquels il y en a /> comptant chacun deux fois.

La forme bilinéaire

g — CtiiXi [J-i-h ^12X1 [J.2+ «21^2 \^\-^ Chl'^-^ (J-2

définit en général une série quadratique bitangente à y : si l'on a ^1 2 — (22 1 = 0, elle définit une série linéaire.

L'équation g =^ o établit une homographie entre les éléments de la série f considérée comme un espace à une dimension : on jDCut lui appliquer la théorie développée aux n^^ 74 et suivants. La série g devient linéaire quand il y a involution. Les éléments communs k f et k g sont les éléments doubles de l'homographie.

Si (x) est un élément quelconque de g défini par (X) et ([a), le rapport anharmonique déterminé par (X), ([a) et les éléments doubles est constant^ dans le cas de l'involution, c'est un rapport harmonique, de valeur — i. Dans le cas général, les deux éléments communs à ^' et à un élément (^) tangent k / en (a) s'obtiennent séparément, en donnant dans g = o, soit aux (X), soit aux([A), les valeurs (a).

Dans le cas de la représentation canonique, l'équation de g est

■— Xi-\- aiiCC2-\- a22^3j — ; ) (^1 — 4^2^3) = o;

son discriminant est - (ai 2 — <^2i )'' {^i i ^^22 — <2i2<^2i )•

On ferait facilement le même calcul dans le cas le plus général.

Il est à peine hesoin d'ajouter que, comme toujours, tout ce qui précède peut être repris en échangeant l'espèce des éléments.

Une forme g linéo-quadratique définit de la même façon une série cubique à élément double triplement tangente à f; les élé-

a44 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

ments communs à g et à un élément (^) tangent à / se séparent en deux groupes de un et deux.

De même, une forme doublement quadratique définit, en généra], une série biquadratique à deux éléments doubles quatre fois tangente à /* : les éléments communs à ^ et à un élément (^) tangent à/ se séparent en deux groupes de deux.

Une forme doublement quadratique symétrique définit une série quadratique sans relation particulière avec/*. Si l'on emploie les formules canoniques, et si

^ = «0 X f ^1 H- 2 «1 Xi [Xi ( Xi [J.2 -f- X2 f^i )

-l-a2(Xf J^|-h X| (Jt.i)H-4a3XiX2[J.i [Jl2 + 2a4X2ÎJl2(Xi [J.2 4- X2 \lx)-\-a^^\\ [Jl| ,

l'équation de la série g est

a^xl-^ aQx\-\- QL^x\-\- l{lCf.^ — ■ «2 ) ^2 ^3 + ^ ^4 ^3 ^i H- "-2 OCi ^j ^2 = o,

et son discriminant est, en gardant les notations des n"^ 106 et

1,. . . ûj\ 7?

suivants, 1 invariant ^3+ -^ ^•

230. On peut appliquer ce qui précède à la résolution du problème général suivant : si (v) est un élément quelconque de /, et si gÇ^-, J^) = Oj hÇk^ |j.) == o définissent deux séries ternaires, l'élément tangent k f en (v) a en commun avec g et h deux éléments (y) et (z); si l'on considère les nouveaux éléments tangents à/' contenant (y) et (^), ils ont en commun un élément (œ) qui décrit une série F que l'on demande d'étudier. Il est clair que si l'on considère (œ) comme défini par ()^) et (a), il suffit, pour avoir la série des (^), d'éliminer les (v) entre les deux équations

Si ces équations sont symétriques des degrés/) et q^ le résultant est de degré pq par rapport aux (1) et aux (iji.), en général non symétrique, de sorte que le lieu cherché est de degré 2pq.

Lorsque l'une des formes g et h est décomposable en facteurs non symétriques, il est clair que le lieu se décompose en deux séries distinctes, et même en quatre séries distinctes lorsque g' et h sont toutes deux décomposables.

Restant dans le cas général, les éléments communs à/ et à F sont déterminés par les équations gQ^-, v) = o, ^(^^5 v) = o; ce

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