CHAPITRE Vil. — LA SÉRIE QUADRATIQUE

sont les éléments de contacts des ipq éléments tangents à /contenant les éléments communs à ^ et A : en chacun de ces éléments les séries /et F sont tangentes.

On peut déterminer les éléments doubles de F, comme on l'a dit au n^ 228, en cherchant le nombre des solutions communes aux équations

puisque, en éliminant les (v^) entre les deux dernières, on trouve encore l'équation de la série F, les (1) et les (u) étant permutés. En supprimant les solutions déjà indiquées pour lesquelles les (1) coïncident avec les (pi), les (v) avec les (v'j, on obtient ainsi '^^pq{pq — i) solutions donnant /)^(/?g — i) éléments doubles.

On a encore d'autres éléments doubles pour F obtenus en écrivant que les équations gQ^, v) = o, h[]x, v) = o ont deux racines (v) communes; un calcul analogue à celui du n° 187 fournit ainsi pq{p — ^){^I — ^) nouveaux éléments doubles. Ceux-ci sont donc au total en nombre pq{'^pq — p — • q)- La série F n'aura pas, en général, d'éléments cuspidaux et, par suite, sera de la classe ipq{p -v- q — i).

Les éléments tangents communs à /et à F sont faciles à déterminer; ils sont en nombre ^pq{p -h q — i) et nous en connaissons déjà ipq qui comptent chacun deux fois. Les autres sont obtenus en écrivant : i^ que gQ^-, v) = o a une racine double en (v), ce qui arrive '^p{p — i) fois, et alors, à chaque système ().) ainsi déterminé, correspondent q systèmes doubles (u); 2° que les équa-

tions <?'( A, V) == o, — \^^ — - = o, — V-^ — - = o ont une racine com-

mune, ce qui arrive ipq{q — i) fois; 3° en répétant ce que nous venons de dire après interversion des lettres g et h.

On voit qu'il j di 2p(p — i) éléments tangents communs à/ et F, d'ordre q de multiplicité pour F, et de même 2qÇq — i) éléments d'ordre/? de multiplicité.

On peut supposer les séries g et h identiques. Dans ce cas, le résultant des équations g^k^ v) = o, g{\^, v) = o contient (^^[Ji)^ en facteur et le quotient est symétrique; donc la série F est de degré p{p — i). Les éléments communs à / et à F sont obtenus en écrivant que g()., v) = o a une racine double en (X) : ils sont

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faciles à définir géométriquement. Il en est de même des éléments

doubles en nombre — [p — ^Y{p — 2) et des éléments tangents

communs avec /en nombre 2p(p — i)(2/> — 3).

De mêmCj si l'on suppose g et h décomposables, et que l'on étudie la partie de la série F fournie par l'élimination des (v) entre

les équations

§■'{1, v) = o, h'iiJ., v) = o,

respeclivement des degrés p^ et p\ c/ et c/\ on trouvera une série de degré p' q'^ -{- p'^ c/ , autant de fois tangente à /, et possédant

éléments doubles, de sorte que sa classe est 2 p' c/ { p'^ -i- q'^ — i). Si déplus les fonctions ^^ et A' sont identiques, on obtient alors une série de degré/>'^(/;' — i), ne touchant pas/en général, admettant - {p' ~ ^){p" — ■^){p'p"~^p' — P") éléments doubles, et de

classe [p^ — i){'2p' p" — p' — 2./>'^).

231. Nous ne ferons que signaler, en terminant, l'extension que l'on peut donner aux recherches qui viennent de nous occuper. Parmi les applications que l'on en peut faire, citons d'abord les théorèmes bien connus relatifs aux suites circonscrites à une série quadratique /et dont tous les éléments de première espèce, sauf un, sont situés sur des éléments fixes de seconde espèce ou sur des séries quadratiques fixes bitangentes à f; puis les propositions relatives aux séries qui contiennent tous les éléments de première espèce déterminés par les éléments de seconde espèce d'une suite circonscrite à/, etc.

Nous nous arrêterons seulement sur le cas particulier suivant. Revenons au problème général du n° 230, et supposons que les séries g et h soient des séries quadratiques telles que l'équation de F obtenue par élimination des (v) entre gQ^-) '0^^^^? A([A, v) = o, soit symétrique en (X) et (pi). Dans ce cas chaque élément de la série F est obtenu deux fois; cette série est du quatrième degré seulement, et n'est pas tangente à/ : elle a avec f huit éléments communs qui se déterminent immédiatement.

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