CHAPITRE VII. — LA SERIE QUADRATIQUE. iS^'J

En écrivant que les équations gQ^-, v)==o, /^(p-, v) = o ont deux racines communes (v), on obtient encore pour F quatre éléments doubles : d'où l'on déduit que F se décompose en deux séries quadratiques F^ et Fo. Si maintenant l'on étudie les éléments tangents communs à F et à /*, on volt tout de suite que ce qui précède ne peut subsister qu'en supposant que /*, g^ h ont quatre éléments tangents communs, qui sont eux-mêmes tangents à Fi et Fo.

En écrivant alors que l'on a à la fois g'()^, v) = o, — ^^ — = o,

î^^if^ =0, ou bien à la fois '-^-^ =o, '-^%f^ =o,

A(ui, v) = o, on détermine non pas des éléments tangents communs à /et à F, comme plus haut, mais les quatre éléments doubles de F, c'est-à-dire les quatre éléments communs à F^ et Fo. En rapprochant cette détermination de ces éléments de celle qui a été indiquée antérieurement, on obtient une proposition intéressante, facile à énoncer.

Réciproquement, lorsque les séries/, g^ h ont quatre éléments tangents communs, la décomposition étudiée ci-dessus aura lieu. On le voit aisément de la façon suivante. Prenons «• sous la forme canonique des n"^ 106 et 107 : ceci revient à écrire que l'élément fondamental 0^ a même polaire par rapport à / et ^'; d'après l'hypothèse, il aura même polaire aussi par rapport à /i, comme nous le verrons plus loin. Si les équations de g et h sont de la

forme

Avf -I- ^B viV2-f- Gv| =0,

A'vf + sB'vjVo-f- G'vl = o,

A, B, C étant quadratiques en (X), A', B^, ÇJ étant quadratiques en ([j.), l'équation de F est

(AG'-i- GA'- 2BB')2— 4( AG — B2)(A'G'-- B'2) ^ o.

D'après l'hypothèse, les fonctions AG — B^ et hlÇJ — B^- des Çk) et des (ti.) sont les mêmes; alors, exprimant cette condition, on voit tout de suite que AG^+ GA^ — aBB^ est symétrique en (1) et ([i.), et le théorème est démontré.

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