CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Le discriminant de la série ([j.) est de même

(j.f dp- -H \x\ (J.2 de' A- jjLi \x\ d' e + {j.\ d'^,

ce qui permet d'écrire de nouvelles égalités intéressantes pour définir e ou e\

La forme équivalente à ().) est

Af cp + X1X2X -*- ^^14^5

OÙ l'invariant y est encore une polaire :

do d(^

H- 2(ai2èl3-4- «13^12— ^11^23— «23^^il);2^3-+-

De même, la forme équivalente à ([i.) est [j.f df--{- (Jti [J.2 A -4- [J^l ^^' &•>

H-2(aj2[Bi3-i- ai3 3,2— an323— a23Pii).^2^3-+-

Les dix quantités /, g^ A, cp, <];, y, (i, <?, e\ cV forment un système d'invariants indépendants pour le système de coefficients et de variables envisagés.

On remarquera la dualité qui existe entre les formes de ce système : en les remplaçant par cp, A, dd'-j^^ df^ ^^' gi ^^j ^^^i ^' ^i ^^' t d!-^ on obtiendrait les formes correspondantes relatives à l'ensemble formé par cp et 'i, /et g restant données.

233. Nous allons chercher tout de suite une forme canonique simultanée pour/" et g, A cet effet, cherchons les éléments (^) qui ont même polaire par rapport à/* et g : on doit avoir

gx\ gxç, §'x^

Si — Y' ^^^ ^^ valeur commune de ces rapports, ces équations expriment d'abord que le discriminant de l^^f -^X^g ^st nul, et,

Hosted by

^5o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

par suite, on a l'équation

A — Xi ai2-ih X2 ^12 Xi «22 •+■ X2 ^22 Xi «23 + X2 ^23 Xi«i3-4- X2^12 Xia23+X2623 Xia33+X2è33

= Xf 6-/ + Xf X2 e ^ Xi X| e'+ X| ^r =: o ;

de plus, on voit que les éléments cherchés sont en même temps les éléments multiples du faisceau (/, g)^ c'est-à-dire les éléments multiples des séries de ce faisceau, )m/+ ^^2^' == o^ q^^i se décomposent.

Si une racine (a) de l'équation A =r o n'annule pas tous les mineurs du déterminant A, ce qui arrive nécessairement si cette racine est simple; à cette racine correspond une solution unique (^) : la série correspondante^ ),,y*-j- X^^' = o, admet cet élément double unique.

Si une racine (X) annule tous les mineurs de A, de sorte qu'elle est double ou triple, il lui correspond une infinité simple d'éléments (^) remplissant un élément de seconde espèce que représente deux fois l'équation )h/+ '^-2 g = o.

Si/ et ^' sont des formes distinctes, comme nous le supposerons, les éléments de A ne peuvent être tous nuls.

Si ();), (V) sont deux racines distinctes de A = o, auxquelles correspondent des solutions (œ) et (x') nécessairement distinctes, on a

X 1 /r . + X 2 g-xi = O , X'i /x; -h X'2 gx', = O ,

d'où

Xi ar.r'-+- X2 b^x" = O, l\ ajc'oc' ■+- X 2 b^x' ■= o,

et par suite, puisque l'on a (W/) ^ o,

Ctxx-- = bj,jc'—0\

donc (^) et (^x') sont conjugués par rapport à /et g^ et, par suite, par rapport à toutes les séries du faisceau (/*, g).

Si le déterminant A est nul identiquement, d et d' sont nuls, et, par suite, / et g sont décomposables. On peut prendre /sous l'une des formes la^^iX^x-^ ou a^^x^^^ et l'on vérifie sans peine que g représente alors deux éléments de seconde espèce dont l'un est commun avec ceux que représente /, ou bien qui ont en

Hosted by