CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈiAIE DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. '25 T

commun un élément multiple de /. Toutes les séries du faisceau sont décomposables.

234. Le cas où A est nul identiquement étant laissé de côté, le faisceau (/, g) contient au plus trois séries décomposables qui n'ont pas d'élément double commun.

On peut alors démontrer sans peine les propriétés suivantes : 1° Supposons qu'une série décomposable QÇ) se compose de deux éléments (^) distincts. En choisissant les coordonnées de façon que cette série soit 2.z'2^3== o, l'étude de A montre immédiatement que, si la racine Çk) est simple, la solution correspondante (^), qui est ici Oi, n'appartient à aucune série du faisceau (/, g) autre que Çk)] si la racine {\) est double, Oi appartient à toutes les séries du faisceau, qui y sont tangentes à un même élément (^), d'après les propriétés des polaires; cet élément tangent commun coïncide avec ^2=oo'^i «^3=0 si Çk) est racine triple et seulement alors.

2" Supposons qu'une série décomposable (X) soit une série linéaire double; son équation peut alors être prise sous la forme x]^^ o. On voit ici que ^^ = o a en commun avec toutes les séries du faisceau deux éléments distincts A et B, si Çk) n'est pas triple; les séries sont tangentes en A et B, et leurs éléments tangents communs sont distincts de ^1=: o. Si la racine Çk) est triple, x^ = o est tangent à toutes les séries du faisceau en un même élément A.

235. Examinons maintenant les différents cas qui peuvent se présenter.