CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES

On a ainsi un moyen de déterminer les invariants par la méthode des coefficients indéterminés.

On pourrait multiplier les propriétés analogues, servant à faciliter le calcul des invariants.

29. Nous admettrons que, pour un système quelconque S, il existe toujours un système de Q invariants, qui ne sont pas tous indépendants, tel que tout autre invariant du système soit une fonction entière de ceux-là : un tel système d'invariants est dit complet.

Cette proposition est connue sous le nom de théorème de Gordan : elJe a été démontrée d'une façon générale par M. D. Hilbert {Mathematische Annalen, Band XXXVI). Nous ne nous occuperons pas de la formation des systèmes complets, sauf dans quelques cas particuliers.

On réserve ordinairement Je nom à'' invariants aux fonctions invariantes qui ne dépendent que des coefficients des formes du système S; celles qui dépendent aussi des variables de première espèce sont alors des covariants; celles qui dépendent des coefficients et des variables de seconde espèce sont des contrevariants ; celles qui dépendent des coefficients et des variables des deux espèces sont àe^ formes mixtes. Les invariants qui ne dépendent que des variables sont en outre dits identiques. Nous avons confondu toutes ces fonctions sous le nom générique d'mvariants, pour plus d'uniformité.

30. Les invariants soumis aux conditions d'homogénéité indiquées précédemment sont les seuls intéressants au point de vue géométrique.

L'évanouissement d'un tel invariant correspond évidemment à l'existence accidentelle d'une propriété /^/'oyec^û'e du système S, c'est-à-dire d'une propriété qui subsiste après une transformation de coordonnées, ou quand on remplace le système S par celui qui lui correspond dans un espace homographique quelconque; de plus, cette propriété est accidentelle, c'est-à-dire ne se présente pas si les coefficients du système S restent arbitraires.

Réciproquement, toute propriété de ce genre, correspondant

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à une seule relation entre les éléments du système S, est évidemment exprimée par l'évanouissement d'un invariant.

L'importance géométrique de l'étude des invariants d'un système binaire est ainsi mise en évidence.