I. n équation A = o a trois racines simples

A ces racines correspondent trois éléments [x) distincts, qui ne sauraient appartenir à une même série linéaire, d'après leurs propriétés, et qui forment une suite triple conjuguée à la fois par rapport à / et g\ il n'y a d'ailleurs pas d'autre telle suite. En la prenant pour suite de référence, on a les formes canoniques

et les trois quantités aabjj — ctjjha sont différentes de zéro.

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H. L! équation A = o a une racine simple et une racine double qui n^ annule pas tous les mineurs de A.

C'est un cas limite du précédent.

Si O^ correspond à la racine double, et O2 à la racine simple, les séries sont tangentes en O^ à 0^ O2, d'après les propriétés indiquées plus haut. La polaire de O2 contient O^ : si l'on suppose que O3 appartient à cette polaire, on a les formes canoniques

d'ailleurs, on a

III. L! équation K^= o a une roxine triple qui n! annule pas tous les mineurs de A.

C'est encore un cas limite du précédent.

Si 0^ correspond à la racine triple, les séries y sont tangentes à Q3 par exemple. On a

/= «22^1 -H «33^1 + 2^23 ^2 ^3+ 2^13 ^1^3, g = ^22^1+ ^33^3-^ lb.2-iX.2Xz +- 2&i3:r.i^3,

avec

<^13^22— <^22^13 = O, Cl^.^bi^ Œ^^b^^^^O. ai^b^z <^23 ^13 7^0.

Oi est commun trois fois auK séries /et g\ ces séries ont un quatrième élément commun que l'on peut prendre pour O3 ; alors

IV. U équation A = o a une racine simple et une racine double qui annule tous les mineurs de A.

A la racine simple correspond par exemple O^] à la racine double correspondent tous les éléments de 0^, polaire de Oi, par suite. Si O2 et O3 sont conjugués harmoniques par rapport aux deux éléments A etB communs à ù^ et à /et g, la suite triple O^^ O2, O3 est conjuguée par rapport à /et g. On a donc d'une infinité simple de manières

f = aiiXl-\- «22^1+ <^^33^L

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