CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

avec

Si l'on prenait Oi AB pour suite de référence, on aurait

J ■=. Cil i X] -^ 2 «23 ^2 ^3; ,*? — ^ ^^11^1 H" ^^23 ^2 ^3 5

avec

V. U équation A = o a une racine triple qui annule tous les mineurs de k,

A cette racine correspondent tous les éléments de O3 ; les séries du faisceau se touchent en Oi ; si O2 est quelconque sur O3 et si O2 est la polaire commune de Oo, on a

avec

236. L'analyse qui précède nous fournit d'abord la réduction de/et ^ à des formes canonicjues, en particulier à des sommes de carrés lorsque cela est possible. Elle nous fournit aussi les éléments (^x^ qui ont même polaire par rapport à toutes les séries du faisceau, et par suite les éléments (^) qui ont même pôle par rapport à ces séries; les suites triples conjuguées par rapport à ces séries; les séries décomposables du faisceau, ainsi que leurs éléments multiples. Enfin elle nous fournit la disposition des éléments communs à deux séries quelconques du faisceau, qui sont les éléments communs kf et k g.

On voit tout de suite, en effet, qu'en laissant de côté les séries décomposables,

i^ Dans le cas l, deux séries (X) du faisceau ont en commun quatre éléments distincts, qui inversement, déterminent le faisceau ;

2° Dans le cas II, deux séries Ç}\) se touchent en Oi, qui leur est commun deux fois, et ont deux autres éléments communs distincts, qui, avec O^ et Télément tangent commun O3 en Oi, déterminent le faisceau ;

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3^^ Dans le cas III, deux séries du faisceau sont osculatrices, c'est-à-dire ont en commun trois fois Félëment 0^, où elles se louchent suivant ^3, et une fois un autre élément;

4° Dans le cas IV, deux séries dii faisceau sont bitangentes, c'est-à-dire ont en commun deux fois les deux éléments A etB, en lesquels elles se touchent, les éléments tangents communs déterminant avec A et B le faisceau;

S"" Dans le cas V, deux séries ().) sont sur osculatrices, c'està-dire ont en commun quatre fois l'élément Oi, où elles se touchent.

Les modifications à faire quand l'une des séries (\) est décomposable, ou qu'elles sont toutes deux décomposables, sont évidentes.

237. Il est facile d'écrire les conditions qui expriment que l'on se trouve dans un cas particulier donné.

Les séries /et g sont simplement tangentes si l'équation A = o a une racine double, ce qui donne

27 cV- d''^ — 1 8 dd' ee' — e- e''^ -\- ,4 de"^ -4- 4 ^' 6^ — o.

Les séries f ^^ g sont osculatrices si A = o a une racine triple, c'est-à-dire si le hessien de la forme binaire A par rapport aux(X) est nul identiquement, ce qui donne

od e e'

Si les séries y*et^' sont bitangentes, et si (X) est la racine double de A=:o, la forme équivalente kX^f -\-\2g est nulle identiquement : on a donc

X|cp-|-X,X2X + Xl4;3=:o;

les dérivées partielles de A sont nulles aussi; alors, éliminant linéairement )^^, X^)^ et \\ entre les trois équations ainsi formées, on obtient comme condition l'évanouissement identique de l'invariant

'le

ie'

Zd!

Cette condition nécessaire est suffisante aussi ^ comme nous le