CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

montreroDS plas loin, si les conditions d'osculation ne sont pas vérifiées.

Si les séries /et g sont surosciilatrices, on a comine plas haut, pour la racine triple de A = o,

de plus, les dérivées partielles du second ordre de A sont nulles, et par suite

3^/Xi-l- (2X2 — o, e\i-^ e'\^^ — o, e'Xj + 3<:/'X2 = o. On en déduit, en particulier, les deux relations équivalentes :

e' o — e 7 -4- 3 <:/d> = o, 3(f/'cp — e'y -{- (?({;= o;

ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes, comme nous le verrons plus loin; elles entraînent les conditions d'osculation.

, 238. Tout ce qui précède peut être répété sur les séries cp et A et le faisceau p-i cp + Uo^ différent du faisceau A,/'+ ^^2^'-

On obtiendra la forme canonique de cp et A, les éléments qui ont même polaire ou même pôle par rapport à cp et A; .... Si, en particulier, les séries/" et g sont indécomposables, de sorte qu'il en est de même de cp et ^, les éléments qui ont même polaire ou même pôle par rapport à ci) et ^ sont les éléments déjà trouvés, qui ont même pôle ou même polaire par rapport à/ et g\ les suites triples conjuguées par rapport à cp et A sont les mêmes que les suites analogues relatives à /et g\ les éléments communs à cp et à A sont les éléments tangents communs à / et à g] les séries décomposables du faisceau (cp, A) sont formées des éléments communs aux éléments tangents à / et à g^ associés deux à deux, et ces couples d'éléments déterminent les éléments de seconde espèce qui ont même polaire par rapport à cp et J; ; ....

Ces résultats, réciproques de ceux précédemment obtenus, n'ont rien de surprenant, si l'on remarque que l'équation M = o, obtenue en égalant à zéro le discriminant de \}.\ cp + [^2']^? se réduit à l'équation A = o par la substitution

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'256 LIVRE II. — LA géométrifî: ternaire.

les différents cas possibles seront donc les mêmes qu'au n^ 235, Dans le cas I, avec les notations déjà employées, les formes canoniques sont

(û = a22«33?i-i-«33«llǧ

■ a[ia22ç'^,

y et g ont en commun quatre éléments tangents distincts. Dans le cas II, on a

Cp = a22^33?ï- ^-^22^33?!"èf3^1-^^22^1o^?3:

f et g ont en commun deux éléments tangents simples, et en outre O3 deux fois.

Dans le cas 111, on a

Cp = («-22 «33— «23)^1 — «13^1— ^'^-'22«13ÇlÇ3-^- 'i«I3«23^î^o ^:=:(622'^33-^l3)^!-^Ï3?i-^^^22^13Ç,?3--^^^13^23^1^2;

O3 est un élément tangent commun trois fois à / et ^'; il en existe un autre simple.

Dans le cas IV, on peut écrire cp et à comme dans le cas I, avec les conditions énoncées au n^ 233; / et g ont deux éléments tangents communs, comptant chacun deux fois.

Enfin, dans le cas V, on a

cp = «22^33^1 -

^- ^22^33^! -^?3^1-^^22^13;iÇ3;

O3 est un élément tangent commun quatre fois à /et à g.

Les conditions caractéristiques des divers cas s'expriment comme au numéro précédent; dans les cas IV et V, elles deviendront

od 2 de' e j e' id'e 3(f/' et

d ' ef — e' A H- 3 dd 'g — o , 'àdd'f — eh -^ de'ff^o.

239. Les séries décomposables du faisceau (/', g) correspondant aux racines de l'équation A r::^ o, l'équation de ces séries, c'est-

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