CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

à-dire des six éléments de seconde espèce qui contiennent les éléments communs k f el k g deux à deux, est évidemment

Il est d'ailleurs évident sur les formes canoniques que les éléments (^) qui constituent l'une de ces séries décomposables ont en commun un élément O/, et sont conjugués harmoniques par rapport aux deux éléments ùy qui contiennent Ô/; cette proposition, qui s^applique au cas I, est facile à modifier dans les cas particuliers.

La même chose peut se répéter sur les éléments déterminés par les séries découiposables du faisceau (cp, <];); en particulier, ils ont pour équation

Les séries du faisceau (/', g^ ont pour équations tangentielles

donc, il y en a deux qui touchent un élément (^) donné; ces deux séries sont confondues si (?) vérifie l'équation

4cptl; — )(;2z= o;

d'ailleurs, il en est ainsi évidemment si (?) contient un des éléments communs à /et à g^ de sorte que l'équation du quatrième degré que nous venons d'obtenir est celle de ces quatre éléments communs. Nous retrouverons ce résultat plus loin.

De même, l'équation des éléments communs à cp et ^, c'est-à-dire des éléments tangents communs à/ et g^ sera

^dd'fg — h'^-' = o.

240. On peut envisager les deux invariants qui sont les jacobiens des formes/, g^ h et cp, f]^, X*

En se servant des formes canoniques générales du cas I, on a

le jacobien r de/, g^ h est donc

An. - I.

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le jacobien p de cp, <];, y est

P = ?lÇ2^3(«22^33— ^33^22)(^33^11— ^ll<^33)(<^11^22 - ^22<^ll).

On voit que les équatioDS r = o et p == o représentent les éléments 0/ et Qi de la suite triple conjuguée par rapport à /et g.

Dans les cas IV et V seulement, r et p, toujours faciles à calculer, sont nuls identiquement : or ceci arrive toutes les fois que les fonctions /, g^ h ou cp, A, y sont liées par une relation, et cette remarque justifie ce qui a été dit plus haut sur la suffisance des conditions obtenues pour exprimer le double contact ou la surosculation.

Les invariants r et p sont liés par des relations aux invariants employés jusqu'à présent. Si Çk) est racine de A = o, la forme

Xf cp -H- X1X2X, + >*^i1^

est un carré parfait, et, égalée à zéro, représente deux fois l'un des éléments O/, d'après ce qui a été dit plus haut : p^ ne diffère donc que par un facteur constant du produit

n(Xfcp + XiX2XH->^l^)

étendu aux trois racines de A = o. On trouve alors sans peine

— p2^ o^d"^-^ o^^{e'^— iecr)-h ^^^-{e''-— ie' d) -^ ^^ d^

— e'<^'cp2^-l-(3(i<:/' — ^^Ot^ — ^^I^^X"^ ed' (qjJ^^ e' d^jj^ — dd' j^^.

Un raisonnement analogue conduit à

— r'^=^pdd'^-V-pgd'{e'-—ie'd)-\-fg''d{e"^—<?.ed')^g^d'>^d'

--ed'ph + ifidd'— ee')fgh — e'dg^h-^ e'/h'^-^egh^^—hK

Remarquons que le calcul indiqué au commencement de ce numéro nous montre que les formes h et y sont réduites à la même forme canonique que / et g^ dans le cas général : la suite triple conjuguée par rapport k f el g l'est donc aussi par rapport aux séries h et y. Mais la série h ne fait partie du faisceau (/', g) que dans les cas de double contact ou de surosculation; il en est de même pour y relativement au faisceau (cp, A).

241. Voici comment, dans le cas général où l'équation A = o a trois racines distinctes, on peut réduire / et g aux formes cano-

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