CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQL'ES

niques du cas I :

Soit

A = n(XiXy'' — X2)^i^'0 (^' = ^ 2, 3),

et faisons correspondre la racine ()^^^^) à l'élément de référence O^-; alors la forme équivalente à «iO.^'cp + ^/X^,^^^, soit

ne diffère que par un facteur constant de x'^ .

En faisant h = Cx'i et désignant par [y) un élément quelconque, on peut donc, en prenant la polaire, écrire

Le déterminant de la substitution ainsi définie, pour passer des i^x') aux (^), est

^ = — dd\\^pVf'—\^,'n^i^){\^,''\'^'-~^'^^^^^

d'après la définition de r comme jacobien.

Les rapports r-^ sont des invariants absolus, et l'on a

xy

a'if

Par les propriétés des invariants, en faisant les [x) égaux aux (y), et appelant [y') les transformées des {y)j on a

«iiri-+- ^22/2' + «3373'=== %^

puis, en se servant de h et de ces relations : On tire des équations ainsi obtenues

— rr

XiO^^(X(n^)~xi/)x^))(Xi^)x^)-x(^)x^0

les indices ^, /, k étant différents.

Hosted by

•26o LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

Il vient donc

XJ-^l,^^--^

Si J'on fait les (y) égaux aux (x), au second membre —V se réduit au carré parfait

^'(X^^'02a^^4-Xing)c^.-l-^(XVT-^:r^,

d'après ce qui précède : on a ainsi décomposé )^i/+ 'k2g en une somme de carrés, mais les nouvelles variables ne sont pas en évidence.