CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

ments taDgents à f suivant les éléments communs à / et kg sont

4 dfie'f-^ eg — h)—{ef-\~ dg^ = o ;

les séries décomposables du faisceau sont

A.{dj — e cp, d'^) = o , on

{dd' — ee')o'^-^ {e^-\- de')(^^j^ — ide^fyj' -h d^yj = o.

L'invariant e relatif à /et h est 2de^ : il est nul avec e^ ; etc.

2o3. Envisageons la série F, et cherchons l'équation des éléments communs à F et à 0/, correspondant à la racine ()^^^^) de l'équation A=: o, les coordonnées étant supposées coïncider avec la suite triple conjuguée commune à /"et g.

L'équation de Q/ compté deux fois est, en supprimant l'indice iy

d'\lf-^\i\^h-^dl'lg — o]

si G est cette série, l'invariant X relatif à F et G définit les éJémsnts cherchés; leur équation est donc

o = aj [( e' X 1 ^2 + 2 ^/' X I ) cp + <iX 1 X.2 4^ -H <iX f ^ ] -H Oi2[d'\i\^o H- (2<:Af -H e\i Xg)^]^ + d'\\ yj\ -f- «3 [( <:/X f -i- 2 e X 1 X 2 -f- e' X I) <:/ ' cp

-^ {el\-^ le'k,!^.-^ d'\l)d^ ^ 1dd'\0^^.y^'

Les éléments tangents à F menés par O/, et par suite tangents suivant les éléments dont nous venons de déterminer l'équation^ sont aussi faciles à déterminer ; on obtient leur équation en égalant à zéro l'invariant simultané relatif à la forme tangantielle de F et

o =: af [(2cAf + eXiXg)/-!- <:/XiX2^-H X| /«^]

+ a|[t/'XiX2/-+- (é?'XîX2+ 2^/'Xl)^VXf A] -^- ^l\[del\^ {e^- - de')\,\^— dd'\l]d' f

+ [— dd'\\ -h (e'2 j'e)XiX2-h ^re'Xl] dg

-^{de'll-^idd'Xil^-^-d' e\l)h\ -f- ai «2 [{e X f H- 2 e'Xi X2 + d'll)f-\~{d\\ -l- 2 e Xj X2 + (3'X|)^ — 2 X 1 X2 A] -H «1 ^3 j[ 2 <ie' X f -f- ( <^<i/ -f- ee' ) X 1 X2 ] /

-hi{e'\x\i-^cri\)dg^{d\\-^e'll)h\ -f- «2 ^3 j 2 ( r/X f + e X 1 X2 ) <:/'/

-h [( rM' + ee' ) X 1 X2 + 2 <:/' e X |] ^ -H ( 6 X I -H rZ' X I) /z j .

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Les mêmes questions relatives à la série

se résoudront facilement de la même façon; d'ailleurs les équations correspondantes se déduiront des précédentes en changeant les invariants/, g^ /i, cp, ^, y, d, d' ^ e, e' ; comme nous l'avons déjà dit, en '^, ^, dd' ^^, df^ d' g^ /i, cP, d'^^ de\ d e^ et en outre as

en ~pi \^ en d'\27 '^2 en d\^,

254. Deux séries F et G définies comme plus haut déterminent sur ùi deux couples d'éléments dont on peut chercher le rapport anharmonique ki. En prenant pour inconnue auxiliaire

ti~ 4

-lu on a sans peine, en se servant des formes canoniques,

Al / , .As)

en posant

il est alors facile de former l'équation du troisième degré qui a pour racines les valeurs de t.

C'est ainsi que, pour y* et ^, on obtient l'équation

d-2d'H^—dd'{ee'-+- 'àdd')t'-

-h (3^2 ^/'2 ee'dd'-^ de'^^d'e^)t — {dd' — ee'Y ■=. o.

Voici un autre problème tout semblable, mais un peu moins simple. Deux séries du réseau (cp, A, y^^ correspondant à des valeurs (j3) et (y) des paramètres, déterminent trois séries décomposables, formées chacune de deux éléments appartenant à l'un des Q/. On peut chercher le rapport anharmonique du couple ainsi obtenu sur Q/ avec le couple formé par les éléments communs à F et à Q/, F étant déterminée comme ci-dessus.

En appelant ki le rapport anharmonique considéré, et intro-

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