V. — Le faisceau (/, g

256. Le faisceau (/, g-), dont les diverses séries ont pour équations

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est contenu dans le réseau (/, g, h). Son étude directe présente cependant un certain intérêt.

Le faisceau est défini par deux quelconques des séries dont il se compose, supposées distinctes : son étude spéciale, indépendante des séries particulières / et g^ revient donc à celle de la forme à variables ternaires [x) et à variables binaires Çk)

Les invariants multiples de cette forme seront ceux du faisceau ou les combinants de /et g : nous considérerons surtout ceux qui dépendent des variables (^x) et (^) ainsi que des coefficients, et c[ui, par suite, sont indépendants au nombre de sept.

Nous nous servirons comme auxiliaires du discriminant de F,

et de la forme tangentielle de F

D est une forme cubique binaire par rapport aux (X); son discriminant

A :== {1^ d^ d'^- —- 1^ dd' ee' -^ .\de"^ -^ ^d' e^— e'-e'^)

est le seul invariant proprement dit du faisceau : égalé à zéro, il exprime que les séries du faisceau sont simplement tangentes. Le discriminant de la forme quadratique <î>, soit

est un invariant du faisceau : égalé à zéro, il définit les quatre éléments communs à toutes les séries du faisceau. Le hessien de la forme D est

E = - [('5de'—e'-)'kl-h (g dd' ~ ee')lil2-^ {'^ d' e — e"^)ll] ;

son évanouissement identique exprime que les séries du faisceau sont osculatrices.

Les formes quadratiques en (X) désignées par $ et H ont un

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