CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES
invariant simultané que l'on peut écrire
ie
ie'
ZcV
il exprime, par son évanouissement identique, que les séries du faisceau sont doublement tangentes, ainsi que nous l'avons déjà vu.
La forme <ï> nous montre encore que le jacobien p des formes cp, ^, 7 est un invariant du faisceau : nous connaissons sa signification, et nous savons que s'il est identiquement nul, c'est que les séries du faisceau sont bitangentes, comme tout à l'heure.
Formons maintenant les invariants qui ne dépendent que des (x). On en obtient trois, qui sont liés à A par une relation bien connue, en éliminant les Çk) entre F et soit la forme cubique D, soit le hessien H de cette forme, soit enfin l'invariant cubique J de cette forme, c'est-à-dire
J == — [(27<^2^' — ç^dee' -^ s^^^Xf + {l'jdd' e -t- 3e^e' — \'ède'-)\\ 1^
— {i^dd'e'-{-^ee'^ — i%d'e'^)\i\l— {'i-/ dd"^-~ ^d' ee' -\- ^e'^)l\].
Le premier a une signification connue^ nous reviendrons sur les deuK autres un peu plus loin.
Formons maintenant la fonction J^(D, $), D et <ï> étant considérées comme des formes binaires aux variables (a); on obtient l'invariant auxiliaire
E = Xi ( e' cp — e ^ + 3 ^/^ ) H- X2 ( 3 (f/' cp — e' ;;( + e tj; ),
dont l'évanouissement identique exprime, comme l'on sait, que les séries du faisceau sont suroscalatrices. Si, de plus, nous calculons la forme tangentielle de cet invariant, nous trouvons
S == f[{e'^—'^d'e)d\\-\-(Zdd'e'^ ee'^-— /[d' e^-)\i\^^-^ {(^dd'^-'-V- e'^ — ^d' ee')\l\ + h\{Z de' — e''-)\\^ {(^dd' — ee')\i\^^-\- {Zd' e — e''^)\\\ 4-^[(9cZ2cZ'H-e3 i^dee')\\^ {"^dd' e ^ e^ e' — /^de'^'')\i\^^~^ {e^- — Zde') d'Xll,
et nous en concluons que le jacobien r de/*, g^ h est un invariant du faisceau : nous connaissons d'ailleurs sa signification, et nous savons que, s'il est nul identiquement, c'est que les séries du faisceau sont bitangentes.
257. Les considérations suivantes vont nous permettre d'expli-
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quer immédiatement la signification géométrique des invariants que nous ne connaissions pas déjà parmi ceux que nous venons d'obtenir.
Si l'on envisage la série du faisceau F = \^f-\- )^2é^> l^s quatre éléments A^, A.25 A3, A4, communs à y et g-, ont sur la série considérée un certain rapport anliarmonique (Aj A2A2A4); si A^ T est l'élément tangent en Aj à F, ce rapport est égal à celui des quatre éléments de seconde espèce alignés A^ T, Ai A2, Ai A3, A^ A4. Si maintenant on considère quatre séries quelconcjues du faisceau, elles ont un certain rapport anharmonique qui est celui des variables (X) qui leur correspondent; c'est aussi le rapport anharmonique de leurs éléments tangents en A^ par exemple, puisque l'équation de l'élément tangent à F en A^ est linéaire par rapport aux ().). On peut d'ailleurs considérer A^ A2, A^ A3, A^ A4 comme les éléments tangents en A^ aux séries décomposables du faisceau. Donc, finalement, le rapport anharmonique (A4A2A3A4) sur F est égal au rapport anharmonique formé par les Çk) avec les trois
racines de D. En l'appelant — ? on a, pour le déterminer, d'après le n° 88, les équations
(Pl + P2)npl-2P2)^(P2-^P1)^ ^ 4(pf-pip2H-pi)3 ^ 27pfp|(pi-p2)^
Nous en concluons immédiatement le sens géométrique des équations J =0, H = o, et celui des invariants obtenus en éliminant les (a) entre ces équations et F = o; de même aussi celui de l'invariant simultané de ^ et H.
Les deux séries définies par H = o, et pour lesquelles le rapport (A^A2A3A4) est équianharmonique, seront les séries / et ^ elles-mêmes, si l'on a e = e'= o, H n'étant pas supposé nul identiquement. Dans ce cas, facile à étudier d'une façon plus précise, les formes h et -^ sont tangentielles l'une de l'autre, et les trois séries /, g^ h sont telles que chacune a pour série polaire par rapport à une autre la troisième.
Remarquons encore que si deux séries sont harmoniques, on peut dire, d'après le n° 245, qu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport à deux des séries décomposables de leur faisceau; si donc ces deux séries décomposables sont / et g^ \\f -\- \2g = O et A|/* — \2g = o seront deux séries harmoniques.
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