CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

VI. — Autres invariants du système de deux formes quadratiques.

258. Nous allons dire quelques mots des invariants qu'il faul adjoindre à ceux rencontrés précédemment pour former un système complet relatif à l'ensemble des deux formes /, g^ et des variables {x) et (^).

1° Le jacobien de /, g' et (^ | x) est, en se servant des formes canoniques générales (simplification qui sera conservée dans tout ce paragraphe),

k =: o est le lieu des éléments (x) dont les polaires par rapport kf et g sont alignées avec (^), ou bien encore l'équation de l'élément commun aux polaires de (x) par rapport à / et g] c'est d'ailleurs un invariant du faisceau (/, g). Remarquons que les polaires d'un même élément (x) par rapport à toutes les séries du faisceau ont en commun l'élément d'équation k = o, et forment un espace à une dimension dont les coordonnées sont les quantités (\) qui définissent les séries 'k^f-\-'k2g = o : on peut en conclure immédiatement de nombreuses propositions qu'il est inutile d'énoncer en détail.

Si (^) est donné, A" = o définit une série quadratique circonscrite à 0^ O2O3.

2^ Le jacobien de cp, A et (^ ] ^), soit

appelle les mêmes observations.

S"" et 4° Formons le premier membre de l'équation de la polaire par rapport à g du pôle de (^) par rapport à/; c'est

l = V= a22<^33^ii'^i?i-i-. . . ;

c'est aussi le premier membre de l'équation du pôle par rapport à /de la polaire de (x) par rapport à g.

En intervertissant les rôles de /et g^ on a de même l'invariant

Les formes bilinéaires l et l' définissent deux homographies faciles à étudier directement.

An. - I. 18

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5° et 6^ Les jacobiens de y, / et (^ | ^) d'une part, g^ l' et (^ | x) d'autre part, sont

la signification des équations m == o et m'= o est immédiate.

rj"" et S"" Les jacobiens de cp, \ et (^1^), d'une part, J;, V, et (^ 1 ^), d^autre part, sont de même

Nous n'insisterons pas davantage sur ces formations.