VII. — Les invariants de fermeture

259. Considérons un élément [x) de f; l'élément (?) tangent kf en (œ) détermine sur g deu^^ éléments, (y) et (y^^^)'-, parjK^^^ on peut mener un nouvel élément tangent (i^^^) touchant/en (x^^^) et ayant (jK^^^) en commun avec g] on peut opérer de même avec (y^^^), et ainsi de suite.

Ceci posé, on cherche le lieu de l'élément commun à (?) et (?^'^'), c'est-à-dire, encore, qu'une suite de n -\- 1 éléments (?), (?^''^), (?^^^), . . ., (ç^"^) étant circonscrite à/, et les éléments (jk^^O ou (W^), (j^^O ou (?^'^?^-0) "^ (r^'^O ou (?('^-o?(«)) appartenant à g^ on cherche le lieu du dernier élément de la suite équivalente, {W"^).

Définissons la série / comme série rationnelle, et emj)lojons toutes les notations du § III clu Chapitre précédent. On voit que tout revient à chercher la relation entre les éléments de contact (x) et [x^'^^). Cette question a été résolue au n° 110, puisque la série g peut être considérée comme définie par une relation doublement quadratique par rapport à des variables binaires, et symétrique :

g- = aoXf |^f-l-2aiXi[j.i(Xj[^2-HX2f^i)-Ha2(Xf [i.l+X|(j.f)

+ 4^3^1^2 [J-l [-'-2-^~ ^^4>^2 ^-2(^1 P-2-H À2 p-i) 4- «gXl [J.|.

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