CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Les invariants de g sont

y\= 2(a2— ccs), ?2= ao^o+s^l -+- 2a|— 4ai a4,.

ao ai «2 ai as «4 a2 a4 «5

en employant les notations du n° 110.

Par suite, la relation entre {x) et [x^^^)^ dont nous appellerons les coordonnées binaires Ç}\) et (m.), est

^Ai= é'H- ^,ig — W

^^^ étant une forme semblable à g qu'il est inutile d'écrire et qui sera déterminée plus loin; d'ailleurs

w,^,w,,^lCO,J l = l6

On voit donc que le lieu cherché de (^i^"^) est une série quadratique g, Il et le discriminant de gn par rapport aux (jji) étant Je même que celui de ^', la série tangentielle de g,i appartient au faisceau (cp, ^).

Les remarques du n° 111 montrent suffisamment comment on trouvera les éléments communs aux séries g et g^-^ en partant, suivant la parité de /2, soit des éléments communs à / et g^ soit des éléments de contact des éléments tangents communs k f et g.

On voit aussi que, si 0),^ n'est pas nul, il n'existe pas de suite proprement dite (^^^^^ . . . i^'^^) circonscrite à y et telle que la suite équivalente soit inscrite à g : d'après ce qui précède, on détermine immédiatement les suites dégénérées qui répondent à cette question.

Mais si W;2 = o, la série gn coïncide avec g^ et il y a une infinité de suites répondant aux conditions que nous venons d'indiquer.

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Les invariants 0),^, ou plutôt leurs numérateurs quand on les a mis sous forme de fractions rationnelles, sont les invariants de fermeture pour le système/', g,

260. Nous allons exprimer les invariants de fermeture en fonction des invariants d^ d' ^ e, e' des séries/, g. Soit

cT étant cfuelconque, et prenons ^' sous la forme canonique en supposant a^ et a4 nuls ; ceci revient à supposer que 0\ a même polaire par rapport à /et g : alors Téquation ordinaire de g est

en employant la représentation canonique du n° 225. On trouve et, par suite,

W/lW/i iC0/i4-l<7* =

l^dci' ' d{^dur — l\dee -^ e^)

e^ — \de' — ^dd' b^n'^

Au surplus, on a ici

g'=z a.Q(x^\\ {x|-i-a2(a2— 2a3)(X2 |j.| + X| [xf )

+ [aoag— («2— îia3)^]'*^i^2|^i[^2-H a2ao>v|[xl,

et Ion reconnaît sans peine que — n est autre que -j; h étant 1 m-

variant simultané de /et g] donc finalement, en remplaçant 03,^(7 par X/^, on a

et l'équation tangentielle de cette série est

\,id' '^ -^ d^ = o\

on vérifie encore ainsi que la série tangentielle de gn appartient au faisceau (cp, A).

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