CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Il sera facile de transporter à la question que nous venons de résoudre toutes les remarques faites au Livre précédent au sujet de la forme doublement quadratique. On observera, à cet effet, que l'équation di = o du n^ 106 définit ici les éléments de contact avec / des éléments tangents communs à /" et à g; que l'équation y^ = o du n'^ 108 définit les éléments communs à/ et g] .... C'est ainsi, par exemple, que si X3 est nul, les éléments de contact avec g des éléments tangents communs à /et g déterminenl, pris deux à deux convenablement, deux éléments de seconde espèce tangents kf] ....

L'interversion des coordonnées des deux espèces permettra encore d'énoncer immédiatement de nouvelles propositions sur lesquelles il est inutile d'insister.

261. On aurait pu arriver aux mêmes résultats en applicjuant ce qui a été dit au n*^ 231. On choisit g sous la forme canonique employée tout à l'heure, et l'on obtient tout de suite, en prenant d'abord pour la série h du n° 231 la série g elle-même,

^2 = («oao — al)^(^^ifJ-2-»->^2(J-i)^-i-i6a^(aoXj [J-i — «2^2 (-«■•2)(a2Xi [J-i — a.X.2 (^-2);

on remarquera ensuite qu'en prenant pour h la série gn, on trouvera, pour les séries désignées par F^ etF2 au n° 231, précisément les séries gn-i et gn+\' On peut donc obtenir ainsi g/i^\ de proche en proche.

On fera le calcul rapidement de la façon suivante. Soit

g = bu x\ + 622 ^2 + <^3.i ^3 ; prenons la série tan genti elle de g,i sous la forme

si alors on écrit que gn^\ contient un élément (.r) commun aux deux éléments tangents à f menés par les éléments de contact sur g et sur g,i d'un élément tangent commun à ces deux séries, on obtient la relation

d"^\\\l^^ — ied'\„\n+\~ ^dd\ln-^ ln+-\)-^ e''-— \de'=^ o.

On en déduit immédiatement la loi de récurrence déjà obtenue, puisque cette relation subsiste quand on change X/^^i en \n-\'

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Si, plus généralement, "X,2 est quelconque, l'équation précédente en ')\,i+i sert à définir les deux séries F^ et F2 du n° 231.

î. Nous venons de voir encore une fois comment l'étude du système de deux séries quadratiques ternaires se rattache à celle de la forme doublement quadratique à variables binaires, symétrique. On peut aussi la rattacher à l'étude de la même forme, mais générale, et non plus symétrique.

Supposons la série / représentée comme série rationnelle par les formules canoniques du n'^* 225, son équation étant par suite comme précédemment

L'élément tangent en (X) à/ est

— XiX2^1+ XICC2-+- ^^1 ^3 = o.

Si alors une série rationnelle g de degré p est définie par les formules

pa7/= ^/((/.l, [^2),

on peut encore définir cette série par l'équation

^= — XiX2^fl(^ti, [^2)4- X|^2([^l, |t2)-H Xf ^•3(fai, fi.2) = 0,

dont le premier membre est une forme générale des degrés 2 et p par rapport aux variables (X) et ([x). Réciproquement, une telle forme peut être interprétée de cette façon : égalée à zéro, elle établit la correspondance qui existe entre les éléments (\) et (jji) des séries y et g lorsque l'élément Çk^) est tangent k f en (X). On voit d'ailleurs aisément comment cette représentation nouvelle peut être généralisée; mais nous pouvons nous borner à ce que nous venons de dire.

Si la série g est linéaire, on obtient une forme linéo-quadratique, et, par suite, les couples d'éléments Çk) qui correspondent aux ([Ji) déterminent sur/ une involution.

Si la série g est quadratique, on est amené à l'étude de la forme doublement quadratique générale, et il est facile de transporter au cas qui nous occupe les résultats obtenus aux n"^ 106 et suivants.

Le discriminant de g par rapport aux (p.) définit les éléments de contact avec / des éléments tangents communs à f et gy le