CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. 27g

discriminant de g par rapport aux ()^) définit les éléments communs à / et ^' sur g\ en se servant de ce que les rapports anharmoniques des racines de ces deux discriminants sont égaux, on retrouve une propriété connue du système/, g.

Si l'on suppose la forme g réduite à la forme canonique

g = Il («0 [JL? -4- Yo [J-l ) -+- 4 Pi ^1 >^2 P-l P-2 + M («2 [J'I + Ï2 P-1 ),

on a, pour définir la série g^

P^l= — 4Plî^lf^2, p^3=: «0(^1+ Y0[^i,

et l'équation ordinaire de g est par suite

(aoT2— «270)^^1 -H i6[^f («0^2— a2^3)(Yo^2— 72^3) = o;

Oj et ù^ sont pôle et polaire par rapport à /et g.

Les invariants de / et g- sont, en fonction des invariants de la forme g^ désignés comme au n^ 106,

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur les résultats que l'on peut obtenir en poursuivant cette étude en détail.

VIII. — Le système de deux formes quadratiques d'espèce différente.

263. Supposons données deux formes quadratiques d'espèce différente, soit

Ce cas se ramène immédiatement à celui que nous avons étudié dans les paragraphes précédents. IL est cependant utile de définir directement les invariants du système ainsi formé.

Les discriminants de /^ et Aj seront S et S'; leurs formes équivalentes seront

et l'on aura

OCh= «22^3;. — a|3, ..., ^1 1 = ^22 l^ôS ~ p f 3 J

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28o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

On a encore les invariants évidents

£ = ail 6ii -h. . .-h 2 0^23 ^23-+-- • • ) s'= Clii Pu -1-. . .+ 2a23 323 + - • .;

La forme '^\f\ -i-^^2§\ du faisceau (/^ , ^'i) a pour discriminant

oA? + £XfX2-f-£'S'XiXl-f-ô'2X|,

et pour forme équivalente

Xfcp,+ XiX2Xi-f-S'Àl^i;

de même la forme t^^i cp, + p.2']^i du faisceau (cpi, ^^) a pour discriminant

et pour forme équivalente

264. Dans le cas général où S et 8^ sont différents de zéro, la signification géométrique des invariants que nous venons de définir est évidente. Mais supposons par exemple que S' soit nul, et que ^^7=:o représente deux éléments de première espèce A et B. Alors gi = o représente (AB) deux fois; £ = 0 est la condition pour que / touche (AB); e' = o est la condition pour que A et B soient conjugués par rapport à /; les séries du faisceau (/i, g\) sont bitangentes suivant les éléments communs à y, et à (AB); les séries du faisceau (cp^, ^i) contiennent les éléments tangents à fi menés par A et B; •^(^^ = o représente les éléments communs à/i et à (AB); hi = o représente la série des (^) tels que les éléments tangents à fi menés par (^) soient conjugués harmoniques par rapport à (^A) et (^B).

Si ij^i = o représente deux fois un même élément A, gi est nul identiquement; S^ et e sont nuls; £^=0 est la condition pour que A appartienne à/; les séries du faisceau (cpi, ^1) sont bitangentes suivant les éléments communs à cp^ et à A; y^i est nul identique-

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