CHAPITRE IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS

respond à {y) de Y, et l'on a

aii7i -f- «1272 -i- «I3JK3 «2l7l -+- «22 J^2 + «2373 «3l7l ■+■ ^^32/2 "^^ «3373

Si les a/y sont les coefficients des aij dans le déterminant c/, et si l'on fait

«11 «12 «13 Çl

'-Ql '-02 '^3 O

(i = 0 est l'écpation de {y) correspondant à (i)^ ou de {x) correspondant à (yi), de sorte que

^ar^i)--

■■^^'ijb'^.h

aj 1 7)1 + «12 'O2 + 2(i3 7]3 «21 'Ol + ^22 ''^i2 + a23'^i3 ^31 '0 1 + <^32 'O2 "T" ^^33 '^3

On a aussi

Nous laisserons de côté les réciprocités singulières pour lesquelles dz=o] leurs particularités résultent immédiatement du n° 205.

267. Nous allons étudier le système formé par la forme / et les variables (^) et (^) : si on lui adjoignait les variables (7) et (v]), il serait facile d'obtenir les nouveaux invariants correspondants.

On a d'abord les deux invariants fondamentaux /(^*, ^), <];(^, Ç), que nous désignerons par f^ et ^^ ; leurs formes tangentielles cp^ et gi forment avec/i et ^^, la forme (Ç|^), et les invariants proprement dits d et ?*, un système d'invariants indépendants, i étant défini par l'égalité

i = «11 au -f-. . .-+- «12 «21 H-. . ..

La série quadratique/^ =: o est le lieu des éléments (ce) appartenant à X ou Y qui contiennent leurs correspondants; de même la série quadratique ^i =:o est le lieu des éléments (?) de X ou Y qui contiennent leurs correspondants.

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Cherchons maintenant les éléments [x) qui ont même correspondant, quand on les considère comme appartenant soit à X soit à Y; on doit avoir

^11^1 +ai2^2-i-<^13^3 __ «21^1 -l-<^22^2H-<^23^3 «^31 <^'l + <^32 ^2 + <^33 ^'3 «ll^l-+-a21^'2 + <^31^3 (2i2^i + a22^'2 + <^32 ^3 «^i^ 13 •'^1 + <^23 ^2 "+" <^3 3^3

et si p est la valeur commune de ces rapports, on a pour déterminer p l'équation

aii(i— p) «12— a2ip «13 — agip

cp(p)r= ^21 «12 0 a22(» — p) «23 — «32 p

De même, pour déterminer les éléments (^) qui ont même correspondant quand on les considère comme appartenant soit à X, soit à Y, ou a

rr: (l — p) [df + {cl — l) Çi-\-d]^ O.

et la valeur commune de ces rapports est encore une racine de Téquation cp(p) = o.

268. Plaçons-nous d'abord dans le cas général où l'équation cp(p) = o a trois racines distinctes i , Oo et ps.

On peut choisir les coordonnées de façon que O] corresponde à I, O2 à p2, O3 à P3; alors aussi ù^ correspond à pi, Q3 à 02, O2 à p3, et Ton a

il en résulte

/= «ll^ljl^ «23^2^3-^ <^32^3jK2,

^ — «23<^32?l'-^il— «11«32?2'^3— «1 1 «23 ^3 '^2 •

Les couples O^ et Q,, O2 et O3, O3 et O2 sont correspondants. On a

d = «ll«23<^32, i = — «11 («I 3 -H «23«32+ «^Dl

f^= aii^f-l-(«23+ «32)^2-5^3? ^1 = —«23^32?? — «11 («23 H- «32)ç2^3,

^1= — 7 (<^23-i-«32)^U — ^ll('^23+<^-32)^2?3,

^1= — 7 <^ll(<^23-l-^32)'-^? — «11<^23«32(«23+ «32)^2^3-

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