CHAPITRE. IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS
Les deux séries /i et gi sont bitangentes en O2 et O3, avec Û3 et Ù2 comme éléments tangents.
Pour le système (/^, Ai), les iavariants sont, avec les notations du n« 263,
cp
(jj^mo représente deux fois Oi ; t/cp^ — - (/ 4- 6/)(];i =: o
représente O2 et O^] g^-~ df^-=. 0 représente Oj deux fois; gK — - ii -^ d)f^-=^ o représente O2 et Q3. On déduirait facilement de ces remarques la façon de ramener /à la forme canonique que nous venons d'employer.
269. Si (^•) est un élément quelconque de X, et (-/i) l'élément correspondant de (Y), le rapport anharmonique formé par les éléments O2, O3 d'une part, (Oi,x) et (t)) d'autre part (157), est
égal à —\ il est donc constant et égal à la racine 03 changée
de signe de l'équation cp(p)=:o. Si l'on considérait (^) comme appartenant à Y, on trouverait de même — p2 pour le rapport anharmonique correspondant; d'ailleurs p2p3= i, et l'on a
On a ainsi la signification géométrique de l'invariant absolu de la forme/, ^.
Si ?: = o, les rapports anharmoniques précédents sont équianharmoniques.
Si l'on prend l'élément i^x) sur fi et qu'on le considère comme appartenant successivement à X et Y, ses deux correspondants sont les éléments tangents à g^ menés par (x); on pourra les distinguer par la propriété précédente : on retrouve cette proposition connue que, si deux séries quadratiques sont bitangentes, les élé-
ments tangents menés à l'une par les éléments de l'autre se séparent algébriquement.
La même chose peut se répéter pour un élément (i) de seconde espèce, avec les modifications convenables évidentes.
Si maintenant (^) est quelconque, on pourra trouver son correspondant en se servant des deux éléments tangents menés à ^i par {x)\ l'élément cherché est l'élément commun aux correspondants de ces deux éléments tangents.
On peut encore remarquer la proposition suivante : soient {y) et (^) deux éléments quelconques considérés comme appartenant successivement à X et à Y, de sorte que chacun d'eux a deux correspondants (t)) et (tj^), ÇÇ) et {^)\ si [y) et (5) appartiennent à une même série du faisceau (y^, g^)^ et seulement dans ce cas, les éléments Oi, {'^\Q) et (t/Q sont alignés. Une proposition analogue a lieu pour les éléments de seconde espèce.
270. Si l'on se donne une série de degré /> dans l'espace X, il lui correspond dans Y une série de même degré, mais d'espèce différente. Nous allons chercher, en supposant/? = 2, si ces deux séries peuvent être équivalentes. En se servant des formules canoniques, si la série donnée est
biiOc\ -1- ^22^1 -H ^33^1 + 'ib^iX^x-^-V- ibi^x'^Xi^ 'ibi^xix^— o,
la série correspondante sera
+ 2 623^23 «32 "^2 '03+ 2èi2aiia23Tj3rji + 2 ^13 «j i ag, 7]i 7]2 = o;
en remarquant d'abord que la série donnée doit avoir même correspondante dans X et dans Y, on voit qu'elle doit être de la forme
il est alors facile d'achever, et l'on trouve que les deux séries
aiiX\±l 2 v/^23<^32^2^3= O
répondent seules à la question.
271. Soit (^x) un élément deX, [r^) son correspondant dans (Y) 5 considérons (t)) comme appartenant à X, et soit (^y) son correspondant dans Y; entre les [x) et les (y) existe une correspon-
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