CHAPITRE IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS
dance homograpliique ordinaire, définie par réqiiation
en général. Avec les formules canoniques, on a simplement
On voit que cette homographie admet les éléments de référence comme éléments doubles; elle est d'ailleurs particulière, puisque l'on a p2p3=: I. En appliquant à cette homographie ce quia été dit au Chapitre VJ, on obtiendra d'intéressantes propriétés nouvelles.
272. Examinons maintenant les différents cas particuliers possibles, en excluant toujours le cas de (f/ = o.
i^' p^ et P2 soDt égaux et différents de i; alors leur valeur commune est — I et l'on a2 + c/ = o.En outre, on suppose que cette racine double n'annule pas tous les mineurs du déterminant (p(p).
En faisant correspondre 0^ à la racine i, et Oo à la racine — i, on a
f= an .Tiji -h ass^sys -^ ^13 (^O's + ^sJKi ) + ^23 (^2jK3 — ^3/2 ), avec
par suite
et l'on peut disposer de Q>^ de façon que ^13=: o. Finalement, on a donc les formules simples
/= «ii^iri-+"<^33 ^373 -+-«23(^273 — ^3^2)5
avec
<^ll<^33«23^ O.
^ = ^l3^r^l+<^ll<^33?2'î^2+^11^23(^2'-Q3— ?3'^i2)j
/i= a^xl-^a^^xl, ^1 = cihVî'+- <^ii^33kh
Oi et Q^, O2 et Q3 sont deux couples correspondants.
Les séries /^ et J;^ se décomposent d'une façon facile à interpréter^ à l'élément de ^4
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pris dans X ou dans Y, correspondent les deux éléments de/,
aii^i+Z — aiiassa^â^ o ou an^i — /an assors = o.
2^ On conserve les hypothèses précédentes, mais l'on suppose que Ja racine — i annule tous les mineurs de 'f(p). Raisonnant comme plus haut, on peut écrire
avec
On
Oi etO^ correspondent à la racine i ; à la racine — i correspondent tous les éléments de 0^ et Q^ : si M est quelconque sur Oi, M et O^M sont des éléments correspondants.
3° L'équation cp(p)=:o admet trois fois la racine i, et cette racine n'annule pas tous les mineurs de ^(p).
On a ici i — 3<i = o.
A p = I , faisons correspondre O^ ; on trouve qu'il faut
alors l'élément (i) qui correspond à Oi peut être pris pour Q3, de sorte que ^12= o; on a
/=r «22^272+ <^"^33^3r3+ «13 (^1 J3 + ^sjl ) "l" «23 ^2^3 + «32 ^3jK2 ,
avec
On en déduit
/l =: ^22^1 H- «33^1 + 2ai3.5;i^3-i- («23+ «32)^2^3 \
on peut simplifier en faisant (233=0, «32= — «23? et il vient finalement
/= a22^2r2+«13(.2;i73-4-:r3jKi)+ «23(^2/3—^372),
avec
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