CHAPITRE IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS. iSg

On a

^'^ ^=^ ^13^^22? l =^ O Clr o Cl^^j

/l == ^22^1-+- 2^13 371^3, i\)i= al^^l— al-^^l — ■iaisCl22ll^S7

cpi = —^f 3 11 — ^^'13^22^1^5 ^1 ^ —af 3^1 2^71 — «13^13^1 — 2 a? 3^22 ^1^3.

Les séries /"i et ^\, sont surosculatrices en O^, avec O3 comme élément tangent commun. Ce cas est un cas limite du cas général.

4" On conserve Jes hypothèses précédentes, mais l'on suppose cfiie ]a racine i annule tons les mineurs de 'f (p).

Si O^ correspond à la racine i, on a «12=^^21? <^<^i 3 = ^<^3i ? «23=^ «30 ; alors on voit que cette racine annule tous les éléments de ç(p) ' il y a invoLution, c'est-à-dire que tout élément a même correspondant, qu'on le considère comme appartenant àXou à Y.

Les séries y*i et g>^ coïncident : les éléments correspondants sont pôle et polaire par rapport à /"i , et cette série ne se décompose pas. Nous avons eu précédemment des exemples de ce cas. Nous voyons ainsi que l'étude d'une série quadratic[ue peut être regardée comme un cas particulier de celle des réciprocités : inversement, on pourrait transporter à la forme bilinéaire/un grand nombre de formules établies pour les séries quadraticjues.

273. Parmi les réciprocités singulières, nous en citerons une qui est involutive, et c|ue nous appellerons spéciale. On a alors

/ = a23 («'^273 — ^3^2 ) -^ «31 (^3ri " ^ijK3 ) -^ ci\^X^xy^ — x^ji ) ;

à un élément (^) correspond l'élément (A^), si A est un élément de première espèce de coordonnées «23, ^3^, ^12- C'est aussi le seul cas où/'^ est nulle identicjuemenl.

An. — I. , 19