Considérons l'ensemble des deux formes bilinéaires

/ = S atjXiYj, g = ^ bij xiyj,

el supposons que les espaces X et Y, remplis par les {x) et les (jk), ne soient pas identiques; les {x) et les {y) sont supposés de même espèce; Tliypothèse contraire n'amènerait d'ailleurs pas de modifications essentielles.

Nous allons étudier brièvement le système formé par les formes/ et g^ les variables {x) et (i) se rapportant à l'espace X, les variables [y) et (tj) se rapportant à l'espace Y : ce sont, par suite, uniquement des invariants multiples que nous allons former.

Cette étude présentera évidemment les plus grandes analogies avec celle du système de deux formes quadratiques, qui peut en être considérée comme un cas particulier : aussi n'en traiteronsnous que les points essentiels. Les résultats obtenus pourront facilement être transportés au cas de deux séries quadratiques et conduire quelquefois à des propriétés nouvelles : inversement, ce qui a été dit sur le cas de deux séries quadratiques pourra, dans certaines circonstances et avec les modifications convenables, s'appliquer au système qui nous occupe.

275. Nous avons d'abord comme invariants les formes /" et g^ (^1^) el{y\r^)^ les déterminants 6/ et t/^ des coefficients a/y et hij, les formes