CHAPITRE X. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES BILINÉAIRES
les àij étant définis comme au Chapitre précédent, et les [5/y jonant le même rôle par rapport aux bij.
Si l'on a /=^ o, ou cp = o, nous dirons que les éléments [x) et {y)-) ou (^) et ('/]). sont conjugués dans la réciprocité/; [x) et [y) élant conjugués dans/, l'élément correspondant à [x) ou [y) contient [y) ou {x). Si les (^) étaient identiques aux {y)^ et si la forme /était symétrique par rapport aux {x) et aux (y), on voit que (^) et [y) seraient conjugués par rapport à la série quadratique/(:r, ^) = o.
Le faisceau de formes '}^\f-+-')^2g conduit à de nouveaux invariants e, e' , y, obtenus de la façon suivante : les invariants qui jouent par rapport à \\f-\- A2^' le même rôle que d et cp par rapport à / sont
et
A est le déterminant des quantités a/y)^ -\- bifk2] o^^ ^
^, àd I /^ dd'y-
la puissance qui figure au dernier membre étant symbolique. On définit de même e' ^ et enfin l'on a
do d^
De même, la forme ^^o ■+- u,2^ du faisceau (o, A) a pour invariant analogue à d
M = d^ [i\ -i- de' [xf [J.2 -t- <i' e (JLi [Ji| + d'^ [jl| , et pour invariant analogue à o
avec
h= Sj3,7 •
Ji est un nouvel invariant.
Enfin, les jacobiens des formes /, g, h par rapport aux [x) et aux (jk), et des formes cp, A, y par rapport aux (^) et aux ('/]) fournissent quatre nouveaux invariants, liés, comme nous allons
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igi LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
bientôt le voir, aux précédents par deux relations. Nous avons donc formé, comme cela devait être, quatorze invariants indépendants.
276. Cherchons un élément (x) tel que les éléments {'/]) que lui font correspondre les deux réciprocités / et g soient identiques. On aura
^1/^1 ~T- Ct^iX'^ -4- Cl[^iX^
(X) étaat racine de l'équation k. = o.
Les (jk) tels que les (i) correspondants soient identiques sont de même déterminés par
aj^yi -I- a/2.r2 + CH^Yz __ ^
les QC) étant les mêmes que précédemment.
Les éléments (?) et (t)) ainsi déterminés vérifient eux-mêmes
les relations
ai/gi-l- a2/^2-^y-3/^3 ^ . i^
a^r-^i 1 -+- ^^/2 '^i 2 -+- a/3 "ÎQ 3 __ P-2
les ([Ji) étant racines de l'équation M = o : on passe d'ailleurs de cette équation à l'équation A = o par la transformation
[j.t <:Z'X2 p.2 cVk 1
Les éléments (^) et (/>^^) que nous venons de déterminer sont précisément les mêmes que les éléments singuliers des réciprocités singulières qui font partie du faisceau (/, g)^ et qui sont déterminées par l'équation A = o : nous appelons ici éléments singuliers d'une réciprocité singulière ceux qui ont leur correspondant complètement indéterminé.
La même observation s'applique aux éléments (?) et (ri) déterminés plus haut, qui sont les éléments singuliers des réciprocités singulières du faisceau (cp , ^).
Si deux éléments singuliers (^) et (y) correspondent à deux racines distinctes de l'équation A = o, ils sont conjugués dans toutes les réciprocités du faisceau (/, g).
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