CHAPITRE X. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES RILINÉAIRES
Remarquons enfin que pour étudier les réciprocités singulières du faisceau (/, g) et leurs éléments singuliers, on peut remplacer/ et g par deux séries quelconques distinctes du faisceau.
277. Si le déterminant A est nul identiquement, toutes les réciprocités du faisceau (/, g) sont singulières; ceci arrive dans les deux cas suivants : ou bien les deux réciprocités singulières /et g ont dans Fun des espaces X ou Y un élément singulier commun-, ou bien, ce cas écarté, /et g sont simplement singulières, et leurs éléments singuliers, A et B pour/ dans X et Y, A^etB^pour^' dans X et Y, sont tels que, dans/, A^ et BB^ et par suite B^ et AA^ soient correspondants, et que, dans g, A et BB^ et par suite B et AA^ soient de même correspondants.
Ce cas étant laissé de côté, nous supposerons d et d' différents de zéro, ce qui est toujours possible d'après une remarque faite plus haut : de cette façon le faisceau (cp, ^) est Jui-même en tout semblable au faisceau (/, g). Si, d'ailleurs, d ou d^ devenait nul, les modifications à faire seraient évidentes.
On est amené à distinguer cinq cas, dont deux généraux. Dans le cas le plus général, l'équation A = o a trois racines simples. Il existe alors dans chacun des espaces X et Y trois éléments singuliers de chaque espèce, formant en tout deux suites triples proprement dites.
En prenant ces suites pour suites de référence, on peut écrire/ et g sous la forme simple
ê'= ^ii^iri-i- ^22^2j2+ ^33^373;
et les quantités aubjj — cijj^a sont différentes de zéro.
Il serait facile d'ailleurs de développer les formules qui permettent de ramener/ et g à cette forme canonique simultanée. Ici
<5^= ^11^22 <^33> e = ^22 «^33^11 -+- <^33<^11 ^22-+- <^ll<^22^33j •••?
tout comme quand il s'agit de deux séries quadratiques, sauf que ^^ et 'i^\ sont remplacés par xtyt et \cr\i.
Les jacobiens r et r^ de/, g^ h par rapport aux (y) et aux (^) déterminent les éléments fondamentaux de seconde espèce; de même les jacobiens p et p^ de cp, A, y déterminent les éléments
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29 î LIVRE II. — LA GÉ0MÉTRI12 TERNAIRE.
fondamentaux. Les produits rr^ et pp' s'expriment au mojen des autres invariants, comme r- et p^ au n"^ 240 en fonction des quantités analogues.
Comme cas limites de ce cas général, nous avons ceux dans lesquels l'équation xi = o a une racine multiple, double ou triple, n'annulant pas tous les mineurs du déterminant A. Les éléments singuliers viennent alors se confondre suivant la même loi que les éléments singuliers d'un faisceau de séries quadratiques dans les cas correspondants.
Le second cas général est celui où l'équation A = o admet une racine multiple annulant tous les mineurs du déterminant A. Si cette racine est double, les formes canoniques du premier cas subsistent, et cela d'une infinité de façons; mais l'on a, par exemple, a22^33 — <^^33 ^22=^0. Le faisceau (y, g^ contient une réciprocité doublement singulière. Dans Pespace X, si les 0/ et 0/ désignent comme d'habitude les éléments fondamentaux, O, et tous les éléments de Qi sont singuliers; il en est de même de C), et de tous les éléments de O^ .
Si la racine multiple de l'équation A = o est triple, on a un cas limite du précédent.
On obtiendrait sans peine, comme dans le cas des séries quadratiques, les conditioîis invariantes qui expriment que l'on est dans l'un des cas que nous venons d'énumérer.
278. Si l'on considère l'élément (^^) qui correspond en vertu de g dans X à (?]) de Y, correspondant lui-même à (^) de X en vertu de /, entre les (^) et (^^) existe une relation homographique; l'équation de i^x') est, en se servant des formules canoniques,
il est alors facile d'interpréter la signification des conditions e = o ou (5'=:o, en se reportant au n° 212. Si, par exemple, <?=:o, il existe des couples de suites triples proprement dites, l'une dans X, l'autre dans Y, dont les éléments d'espèce opposée se correspondent en vertu de/, et dont les éléments de première espèce correspondants sont conjugués dans g\ et ainsi de suite.
279. Envisageons le faisceau ')^\f -V^^g ^t un élément (^); les
