CHAPITRE X. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES BILINÉAIRES

éléments correspondants dans Y en vertu des différentes réciprocités du faiscean contiennent un élément (jk) fi^^e, détini, en se servant des formules canoniques, par les relations

inversement, on a

( «22 ^33— «33 ^22;72,;'3 ( «33 ^11 — «1 1 ^33)7371 ( ^^1 1 ^22 — «22 '^llIri,/2

Si l'on considère quatre réciprocités du faisceau, elles ont un rapport anharmonique, celui des Çk) correspondants, qui est précisément le même que celui des quatre éléments (y^) alignés, contenant (jk), qi^i correspondent à un même élément (^) en vertu des quatre réciprocités. En particulier, si les éléments singuliers dans Y sont les O^- , et si (t)) correspond à (x) en vertu de \sf -T-^'ig-, le rapport anharmonique des éléments (tj) et {yO'-) est constant et facile à évaluer en fonction des invariants absolus du système/, g. D'une façon générale on peut étudier en détail le faisceau (/', g) comme nous avons fait pour celui de deux séries quadratiques.

280. Les formules du numéro précédent établissent entre les éléments (^) et (jk) des deux espaces X et Y une correspondance spéciale, dont nous avons déjà eu des exemples, dite quadratique birat tonne lie.

A chaque élément de l'un des espaces correspond un seul élément de l'autre, exception faite pour les éléments singuliers qui ont chacun une infinité simple de correspondants.

Dans le cas particulier où l'équation A = o a une racine double annulant tous les mineurs de A, en supposant «22 ^33 — ^<^^33 ^22 = o, on voit que, si [x) n'est pas singulier, on a toujours jki = o; on est ramené à une homographie singulière. Nous nous bornerons dans ce qui suit à étudier le cas le plus général : les cas particuliers s'en déduisent facilement.

Considérons un élément (^) de X : le lieu des éléments ( r) c|ue le faisceau (/, g) fait correspondre à tous les éléments [x]

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de (i) est une série quadratique d'équation

-i- («33^11— «11 ^33)^2 J3ri-+- («^11&22— «22^11 )bjl72== O.

D'une façon générale, le premier membre de cette équation est le jacobien des formes /', g et (i|^) par rapport aux (^). Cette série quadratique contient toujours les éléments singuliers (jk) du faisceau.

On trouve la même série en cherchant le lieu des éléments (y) C[ui correspondent à (^) en vertu des différentes réciprocités du faisceau; son équation tangentielle peut donc s'écrire aussi

Par suite, y =:= o définit le pôle par rapport à cette série de l'élément (t,) qui contient les deux éléments (jk) qui correspondent à (Ç) en vertu de / et g : ainsi s'explique la réciprocité définie par l'invariant -j^.

Si l'élément (^) contient Oi, par exemple, la série quadratique correspondante se décompose, et son élément double situé sur Q'^ peut être regardé comme correspondant à (^); réciproquement, à un élément de Q'^ , on peut faire correspondre l'élément (Ç) contenant O^ et défini par

(«33<^11— «11^33 )J3 , (<^11^22 — «22<^ll)jK2

On atténue de cette façon les effets de l'indétermination signalée plus haut dans la correspondance entre les (.^) et les (jk).

La même chose peut se répéter en intervertissant le rôle des espaces X et Y.

281. La correspondance que nous étudions fait correspondre à une série /(^{, x^^ x^)-=-o^ de degré/;, une série /q de l'espace Y, dont l'équation s'obtient immédiatement, et de degré 2p.

Si la série / admet les éléments singuliers O^, O2, O3 comme multiples des degrés q\^ q^^ q^ respectivement, la série /q contient les éléments singuliers Q!- les mêmes nombres de fois; si nous les supprimons, il nous reste une série V qui correspond à l d'une façon proprement dite. Cette série Z^est de degré ip — q^ — q^ — q^] elle admet les éléments singuliers O'^, O!,, O3 comme multiples

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