CHAPITRE X. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES BILINÉAIRES
respectivement des degrés/) — ^2 — 5^3? P — ^3 — <]\^ P — Ç\ — ■ ^25 et les éléments tangents à l' en O'^, par exemple, correspondent aux éléments communs à / et 0( autres que Oo et O3.
Les éléments multiples de ces séries, non coïncidant avec les éléments singuliers du faisceau (/, g)^ se correspondent d'une façon univoque, et deux tels éléments correspondants ont leurs éléments tangents distribués de la même façon.
Si l'on se donne une série de seconde espèce dans X, on pourra trouver sa correspondante dans Y en cherchant le lieu des éléments qui correspondent à ses divers éléments tangents, ou encore l'enveloppe des séries quadratiques qui correspondent à ses divers éléments.
On aurait des résultats analogues aux précédents en considérant le faisceau (cp, (];).
II. — La correspondance quadratique birationnelle entre deux espaces coïncidants.
282. Si les espaces X et Y sont supposés identiques, il faut distinguer deux cas, suivant que les éléments [x) et [y) sont de même espèce ou non. Nous ne nous occuperons d'abord que du premier cas.
Si l'on fait les [y) égaux aux {x)^ f et g deviennent/^ et g^] les deux séries c[uadra tiques / et g^ déterminent en général un faisceau, et si nous supposons que ce faisceau n'offre rien de particulier, on peut prendre pour éléments fondamentaux ceux de la suite triple conjuguée à la fois par rapport à /j et g^. On pourra alors écrire
-i- «23(^273—^3^2) -H «3l(^3.ri— ^1^3) -^ «)2(^lj2 — ^2jKl),
g=^ bnooiyi-^
On en déduit
Cp = ^22^33^17^1-+-. . .-t- ai2a23(^2'-Q3 — ^3'/]2) "^ ^ • •
-^ («23^1-1- «31^2-^ «12 ^3) («23 "301+ «3l'!Q2H- «12''l3)j 1]; rrrr ^22'^33^l''ll-i-
La forme 'k\f -i-^og conduit d'abord aux invariants <:/, d^^ e,
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e\ y^ déjà connus; rinvariant z:, défini au n° 267, relatif à cette l'orme, est
et l'on a les nouveaux invariants
^ 7 ai ., ^ dl'
Enfin un procédé connu donne encore les deux invariants
En se servant des formes canoniques, on a
d^^aiia^^^azz -'-Sanalg, e— S 6n<^<''22^33 -^S ^^ a^3 -i-sS ai i «2-3 ^îi-
Le faisceau [a, o -|- tj^o^ conduit aux mêmes invariants et à l'invariant h défini précédemment.
Il est facile, avec ce qui précède, de former des systèmes fondamentaux d'invariants, et de définir les principaux éléments géométriques du système considéré.
- 283. Si l'on envisage spécialement la correspondance quadradratique définie par le faisceau [f\ g), les quatre éléments communs à f^ et g^ sont les seuls qui coïncident avec leurs correspondants.
Si ^1, A^, Yi sont les séries quadratiques obtenues en faisant les (rj) égaux aux (^) dans cp, ^^ -j^, la série quadratique lieu des éléments de seconde espèce qui contiennent leur correspondant dans la réciprocité \^f '\-\.2gi ^ pour équation
Xf cpi^- XiXsXi-^ Xltj^i = o; son enveloppe est la série quartique de seconde espèce
cette série est aussi le lieu des éléments (^) qui sont tangents aux séries quadratiques correspondantes, d'après ce qui a été dit antérieurement.
La série quadratique équivalente à celle définie ci-dessus est
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