Examinons quelques cas particuliers

i^ Les séries y^ et g\ restant distinctes, la correspondance quadratique définie par le faisceau (y, g) ne pourra être involutive [c'est-à-dire que chaque élément (x) aura même correspondant, ([uand on le considère comme appartenant soit à X, soit à Y] que si les formes / et g sont symétriques par rapport aux (x) et aux (y), c'est-à-dire si les réciprocités f et g sont elles-mêmes en involution sans être spéciales. Dans ce cas, à chaque élément (œ) correspond l'élément commun à ses deux polaires par rapport à/, et g^. Il est donc inutile d'insister : on est ramené à l'étude du faisceau de deux séries quadratiques.

Ce cas est en même temps le seul dans lequel les éléments singuliers du faisceau (/, g)^ correspondant aux mêmes racines de l'équation A=: o, sont les mêmes dans les deux espaces X et Y.

2^^ Les séries /"^ et g^ peuvent être confondues, ou bien l'une d'elles disparaît identiquement. Dans ce cas, le faisceau (/, g) contient une réciprocité spéciale. 11 existe une série simplement

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infinie d'éléments qui coïncident avec leurs correspondants. Il j aura involution si, en outre, le faisceau (/, g) contient une réciprocité involutive non spéciale. Ce cas particulier peut recevoir le nom à^ inçersion.

On l'obtient, par exemple, en supposant que g définisse la réciprocité inverse de /; en d'autres termes, en supposant [x) appartenant successivement à X et Y, et prenant pour (y) l'élément commun à ses deux correspondants. Réciproquement, toute inversion peut être obtenue ainsi, et d'une infinité de façons.

Si nous supposons c[ue/ corresponde à la réciprocité involutive non spéciale, et g à la réciprocité spéciale, on pourra prendre en

général

les formules de correspondance sont alors

— la^^x^x^ aiiXiX^ ctiiXiX-^

Les propriétés de cette correspondance sont ainsi en évidence.

Les éléments singuliers dans les deux espaces XetY coïncident encore; mais O2 et O3 correspondent dans ces deux espaces à des racines différentes de l'équation A = o.

Quatre éléments correspondants deux à deux appartiennent avec O2 et O3 à une même série quadratique.

Si la série /'^ se décompose, on prendra

f= anXifi-^a^^x^y^.,

Hl'c

— «22^2 aiiXiX2 aiiXiX'^

Si l'élément singulier de g appartient à/i, on pourra prendre

et l'on aura

— (<r^33^3 -H <^12'^1^2) «12^1 ai^X^X-i

Si /^ se décompose, on est ramené à l'homologie.

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