CHAPITRE X. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES BILINEAIRES. 3oi

3^ Si les séries y^ et g^ disparaissent toutes deux, la correspondance entre les (^) et les (y) est identique.

285. Envisageons maintenant le cas où les éléments (x) et (j) des deux espaces coïncidents X et Y sont d'espèce opposée : pour plus de netteté nous remplacerons donc les (y) par les (t^), et inversement.

Le faisceau (y, g) définit une réciprocité quadratique hirationnelle, les éléments correspondants étant d'espèce différente : les formes /et g elles-mêmes définissent des homographies ordinaires.

Observons d'abord que l'étude de l'homographie dans deux espaces coïncidents peut être regardée comme un cas particulier de celle d'un système de deux formes bilinéaires, définissant des homographies dans deux espaces distincts. Ceci tient à ce que, quand les espaces X et Y sont coïncidents, la forme (^|vi) s'adjoint immédiatement à la forme bilinéaire /(^, Tj) comme invariant, et cette forme (^|'^) est elle-même bilinéaire.

L'étude du système de deux formes/(.^, v]) et^'(^, tj), lorsque les éléments (^) et (t]) remplissent le même espace, est de même un cas particulier de l'étude générale d'un système de trois formes bilinéaires que nous ferons un peu plus loin, et à laquelle nous renverrons pour les particularités relatives au cas présent.

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