CHAPITRE XI. — ÉTUDE DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. 3o

nous défiDissons ainsi une série cubique de première espèce, dite jacobienne du réseau F et cayleyenne du réseau <ï>. De même, le jacobien II des formes o^ A, '^(^ définit une série cubique de deuxième espèce, jacobienne du réseau <ï> et cajlejenne du réseau F.

La série P peut être interprétée de plusieurs façons, d'après son équation même :

i^ P r=: o est ]e lieu des éléments i^y) dont les polaires par rapport aux séries F ont un élément commun (s).

2" P = o est aussi le lieu des éléments (js) que nous venons de définir et les polaires de (^) contiennent toutes (j^) : (/) et (5) sont dits correspondants sur P.

3'^ P =::= o est le iieu des éléments doubles des séries décomposables du réseau F.

4^ Si une série ^ se décompose en deux éléments {y) et (s), ces deux éléments sont conjugués par rapport à toutes les séries F, et par suite appartiennent à P et sont même correspondants sur P. P =: o est donc aussi le lieu des éléments que représentent les séries décomposables du réseau <ï>.

Les mêmes propriétés s'appliquent à la série H, avec les modifications nécessaires*.

Donc encore :

5'^ (j/) et (^) étant correspondants sur P, ces deux éléments forment ensemble une série décomposable du réseau <ï>, et par suite le lieu de (y^) est la série H.

6'^ (j^) et (^) étant correspondants, (jK^) détermine, sur chaque série F, deux éléments conjugués harmoniques par rapport à (jK^) ; donc II = o est le lieu des éléments (^) qui déterminent avec toutes les séries F des couples en involution ; (jk) tst (^) sont les éléments doubles de cette involution ; les séries F contenant (jk) ou (5) sont toutes tangentes à (^yz). Par suite, P=: o est le lieu des éléments (jk) tels que toutes les séries F qui contiennent (jr) y aient un même élément tangent, savoir (jK^)? (^) correspondant à (y).

7"" Si/, g^ h sont trois séries fixes du réseau F, P=: o est le lieu des éléments ayant même polaire par rapport à/ et aux séries du faisceau (^', A), quand celles-ci varient; et H = o est le lieu des éléments (i) contenant deux éléments communs à / et aux séries du faisceau {g^ h).

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3o4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Les mêmes propriétés ont lieu quand on intervertit le rôle des séries F et <ï>.

D'après l'une des propriétés ci-dessus, on peut écrire d'une nouvelle façon les équations des séries P et IT. Si une série <ï> se décompose, de sorte que

P z= o est le lieu de (^) ; donc l'équation P = o peut s'écrire

an «22 «33 "2 7.23 2^31 2 «13

pli ?22 ^33 2^23 2^31 '^pl2

Tm T22 T33 2^23 '2^31 2Yi2

Xi 00 O CCo ^2

On aurait de même n ^=:: o sous une forme analogue.

288. Soient (y) et (y) deux éléments de P, (z) et (z') leurs correspondants : (yf') a en commun avec P un troisième élément (/) qui appartient aussi à (zz^). En effet, (t) est élément double pour une série Fq du réseau F; la polaire de (y) par rapport à Fo est (zt), et de même la polaire de (y') par rapport à Fo est (z' t) : mais ces deuK polaires sont identiques, puisque {yy' ) contient (t)-^ donc aussi (zz^) contient (t).

De même, (yz^) et {y^ ^) ont en commun avec P un même troisième élément (u) : (t) et (u) sont correspondants, car la polaire de (t) par rapport à la série F, du réseau F, d'élément double (y), coïncide avec celle de (y^) et est par suite (yz^); de même, la polaire de (t) par rapport à la série F2 du réseau F d'élément double (y') est {y' z) : l'élément (u) commun à ces deux polaires correspond à (^).

Si (y) se confond avec (y), et par suite (z^) avec (z), on voit que les éléments tangents à P en deux éléments correspondants (y) et (z) ont en commun un élément (t) de P, correspondant au troisième élément (u) commun à (yz) et à P. De chaque couple d'éléments correspondants on peut donc en déduire facilement un autre.

Si (y) est inflexionnel sur P, (t) se confond avec (y) et par suite (u) avec (^), de sorte que (yz) touche P en (z).

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